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Konvergenz von Reihen

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen

 
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esc00

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18:38 Uhr, 11.01.2020

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Hallo,
wir sollen die folgenden Reihen auf Konvergenz untersuchen und ggf. den Grenzwert angeben:
n=1(3-n+5-n)
n=3n2n2-2n

Bei dem zweiten habe ich mit dem Quotientenkriterium angefangen:
limn2(n+1)2-2(n+1)2n2-2n=limn2(n2-2n)2((n+1)2-2(n+1))
=limn(n2-2nn2+2n+1-2n+2)=limn(n2-2nn2+3)
=limn(n(n-2)n(n+3n))=limn(n-2n+3n)
Da müsste man ja eigentlich auf 1 kommen, jedoch besagt das Quotientenkriterium ja, dass man dann keine Aussage über die Konvergenz machen kann.
Bei der ersten Reihe wäre es sehr nett, wenn mir jemand ein Tipp geben könnte welches Kriterium hier anzuwenden ist.

LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Antwort
HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

18:54 Uhr, 11.01.2020

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Die erste Reihe kann zerlegt werden als Summe zweier konvergenter geometrischer Reihen, damit sollte alles klar sein.

Bei der zweiten Reihe lass dir gleich mal folgendes allgemein sagen: Ist das Reihenglied eine gebrochen rationale Funktion in n, dann sind Versuche mit Quotienten- oder Wurzelkriterium grundsätzlich sinnlos, da kommt IMMER im Grenzwert 1 und damit darauf basierend "keine Entscheidung" heraus. :(

Zielführender sind Minoranten- bzw. Majorantenkriterium mit Vergleichsreihen vom Typ n=11nα (bzw. evtl. auch mit "Verschiebung" n=11(n+c)α), denn die sind für α>1 konvergent und für α1 divergent.

In besonderen Fällen wie hier klappt es auch mit einer Argumentation über Teleskopsummen, und zwar via 2n2-2n=1n-2-1n.

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