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Konvergenz von Reihen

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Ist eine Reihe von einer monoton fallenden Nullfolge konvergent?

DrZord aktiv_icon

16:44 Uhr, 12.07.2008

Hi.

Ich beschäftige mich gerade mit Reihen und deren Konvergenzeigenschaft.
In meinem Skript steht folgendes:

Notwendiges Kriterium:
ist die Reihe für

k = 0

bis unendl von Ak konvergent, so ist Ak eine Nullfolge.

Wurzelkriterium:
ist der Limes(k gegen unendl) von k-te Wurzel aus Ak

< 1,

so ist die Reihe konvergent.

Meine Frage:

Wenn Ak eine monoton fallende Nullfolge ist, dann ist doch das Wurzelkriterium immer erfüllt, denn k-te Wurzel aus

0 = 0

. Und 0 ist kleiner 1. Also müsste die Tatsache, dass Ak eine monoton fallende Nullfolge ist doch ein hinreichendes Kriterium sein für Konvergenz sein. Stimmt diese Überlegung?

PS.: Kennt jemand ein Java Applet oder Freeware programm, mit dem man Reihen auf Konvergenz prüfen kann?

m-at-he

03:45 Uhr, 13.07.2008

Hallo,

Beweis durch Gegenbeispiel!

Die Zahlenfolge "n-te Wurzel aus n" hat den Grenzwert

1 :

lim_{n \to \infty}

(n-te Wurzel aus

n)

= lim_{n \to \infty}

(e^ln(n-te Wurzel aus

n))

= lim_{n \to \infty} (e^{\frac{ln (n)}{n}})

= e^{lim_{n \to \infty} (\frac{ln (n)}{n})}

wobei

lim_{n \to \infty} (\frac{ln (n)}{n}) = 0

nach L'Hospital folgt,

d . h .

lim_{n \to \infty}

(n-te Wurzel aus

n)

= e^{lim_{n \to \infty} (\frac{ln (n)}{n})}

= e^{0}

= 1

Damit folgt unmittelbar, daß 1/(n-te Wurzel aus

n)

ebenfalls gegen 1 geht. Und weil gilt:

1/(n-te Wurzel aus

n) =

(n-te Wurzel aus

(\frac{1}{n}))

geht auch (n-te Wurzel aus

(\frac{1}{n}))

gegen

1 .

Damit liefert das Wurzelkriterium für die Reihe:

Σ_{k = 1}^{\infty} (\frac{1}{k})

den Wert

1,

obwohl

\frac{1}{n}

offensichtlich eine Nullfolge ist. Das bedeutet, daß das hinreichende Kriterium nicht erfüllt ist und man so nicht sagen kann, ob die Reihe konvergiert. Auf andere Art und Weise (Minorantenkriterium) kann man zeigen, daß diese Folge divergent ist, das Wurzelkriterium durfte also keinen Wert kleiner als 1 und schon gar nicht den Wert 0 liefern!

Ja, die k-te Wurzel aus Null ist Null! Aber die k-te Wurzel von etwas, das zwar gegen Null geht, aber selbst größer als Null ist, geht deshalb noch lange nicht gegen Null!!!

DrZord aktiv_icon

15:00 Uhr, 13.07.2008

Hallo.

Danke erstmal für die Mühe. Ich hätte nicht gedacht, dass die Antwort so lang ausfällt, aber ich denke alles verstanden zu haben und weiss jetzt, wo mein Denkfehler lag:

Du hast folgendes geschrieben:

"1/(n-te Wurzel aus

n) =

(n-te Wurzel aus

(\frac{1}{n}))

geht auch (n-te Wurzel aus

(\frac{1}{n}))

gegen 1."

Hier ging mir ein Licht auf. Wenn es schnell gehen muss, berechne ich den Limes mit dem Taschenrechner für sehr große bzw. sehr kleine Werte.

z . B

bei der Eingabe

10000-te Wurzel(1/10000) hatte ich 1 exponet

- 8

rausbekommen und dachte natürlich der Limes sei 0. Erst jetzt ist mir aufgefallen, dass ich die zweite Klammer bei (1/10000)hoch

[\frac{1}{10000}]

immer weggelassen habe und deshalb falsche Ergebnisse erhielt.
Danke dafür. Wird mir in Zukunft(und

v . a

. bei meiner Prüfung) viele Fehler ersparen!

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