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Konvergenz von Reihen mit Konvergenzkriterien

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen, konvergenzkriterien, Reihenwert

JJJMath aktiv_icon

11:06 Uhr, 24.05.2019

Hallo Leute, ich bin gerade dabei zum lernen ein paar Aufgaben durchzugehen.
Bin jetzt gerade dabei Reihen mittels Konvergenzkriterien auf Konvergenz bzw. absolute Konvergenz zu untersuchen.

a)

Reihe von

k = 0

bis unendlich

: \frac{1}{3 k + {(- 1)}^{k}}

Hierbei wollte ich mit dem Quotientenkriterium vorgehen.

b)

Reihe von

k = 1

bis unendlich:

{(- 1)}^{k}

*(k-te Wurzel aus

k \frac{)}{k})

Hier wollte ich mit dem Leibniskriterium vorgehen.
Da der Bruch eine monoton fallende Nullfolge ist, ist die Reihe schon mal konvergent.
Jetzt muss ich noch untersuchen, ob auch absolute Konvergenz vorliegt.

c)

Reihe von

k = 0

bis unendlich:

\frac{4}{(k + 1)!}

Hier bin ich auch mit dem Quotientenkriterium vorgegangen.
Habe durch umstellen raus bekommen, dass

lim \frac{4}{k + 2} = 0 < 1

weshalb die Reihe absolut konvergiert

Vielleicht habt ihr ja noch paar Tipps für mich

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

anonymous

11:22 Uhr, 24.05.2019

Hallo JJJMath
zu

a)

Ja, ich ahne, mit dem Quotientenkriterium wirst du nicht weit kommen.
Ich empfehle das Minorentenkriterium

\frac{1}{3 \cdot k + {(- 1)}^{k}} > \frac{1}{3 \cdot k + 3}

c)

Du wolltest noch einen Tipp.
Also denn, wenn du den Grenzwert ausweisen kannst, dann sollte auch bewiesen sein, dass die Reihe konvergent ist.

GW=

\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{4}{(k + 1)!} = 4 \cdot \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{(k + 1)!}

= 4 \cdot [- 1 + 1 + \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{(k + 1)!}]

= - 4 + 4 \cdot [\sum_{m = 0}^{\infty} \frac{1}{m!}]

= - 4 + 4 \cdot e

ermanus aktiv_icon

11:22 Uhr, 24.05.2019

Hallo,

zu a): das Quotientenkriterium wird wohl nichts bringen.
Der Nenner verhält sich fast wie eine lineare Funktion in

k

.
Das spricht sehr dafür, irgendwie die harmonische Reihe ins Spiel zu bringen
Gruß ermanus

anonymous

11:35 Uhr, 24.05.2019

b)

Ich / (wir) vermuten, das sollte in diesem schrecklichen Editor heißen:

\sum_{k = 1}^{\infty} {(- 1)}^{k} \cdot \frac{\sqrt[k]{k}}{k}

b . 1)

Die richtige/vollständige Argumentation für das Leibnitz-Kriterium wäre:
'Da der Bruch eine monoton fallende Nullfolge ist, und das Vorzeichen der Glieder alterniert, 'ist die Reihe schon mal konvergent.'

b . 2)

Wenn du absolute Konvergenz untersuchen wolltest, dann doch die Beträge, also einfach:

\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{\sqrt[k]{k}}{k}

Auch das riecht wieder nach Minorantenkriterium und den Tipps aus

a)

und von ermanus...

JJJMath aktiv_icon

11:49 Uhr, 24.05.2019

Zur

a)

Nach dem Minorantenkriterium:

\frac{1}{3 k + {(- 1)}^{k}} \geq \frac{1}{3 k + 3}

\Leftrightarrow

3 k + \frac{3}{3 k + {(- 1)}^{k}} \geq 1

\Leftrightarrow

\frac{3}{{(- 1)}^{k}} \geq 1

Dies würde ja aber nur stimmen für

k

ist gerade

Habe ich da noch einen Denkfehler drin?

JJJMath aktiv_icon

11:59 Uhr, 24.05.2019

Zur

b)

Zur Untersuchung der absoluten Konvergenz:

Reihe von

k = 0

bis unendlich: k-te Wurzel

\frac{k}{k} \geq \frac{1}{k}

\Leftrightarrow

k-te Wurzel

k \cdot \frac{k}{k} > 1

Dies stimmt ja für jedes

k \geq 1

Hätte ich damit jetzt die absolute Konvergenz gezeigt?

anonymous

12:27 Uhr, 24.05.2019

Ehrlich gesagt, ich verstehe deine Aufschriebe und Gedankengänge nicht so ganz.

Dabei wäre es ganz einfach:
zu

a)

\frac{1}{3 \cdot k - 1} > \frac{1}{3 \cdot k + 0} > \frac{1}{3 \cdot k + 1} > \frac{1}{3 \cdot k + 2} > \frac{1}{3 \cdot k + 3}

Deine Reihe verwurstelt sich irgendwo so zwischen

\frac{1}{3 \cdot k - 1}

und

\frac{1}{3 \cdot k + 1}

.
Wie auch immer, sie ist in jedem Fall größer als

\frac{1}{3 \cdot k + 3}

b)

noch ein Tipp, Ermanus hatte ja schon die harmonische Reihe nahegelegt:

\frac{\sqrt[k]{k}}{k} > \frac{1}{k}

JJJMath aktiv_icon

13:48 Uhr, 24.05.2019

Vielen Dank erstmal.
Dadurch, dass ich bei der

a)

und

c)

jeweils mit der harmonischen Reihe abschätze, die ja divergent ist, sind also auch die Reihen

a)

und

c)

beide divergent.
Also wäre von den drei Reihen nur die

b)

konvergent und dann noch zu untersuchen, ob auch absolut konvergent.

Ist das so richtig?

anonymous

15:29 Uhr, 24.05.2019

Ich helfe dir mal noch...

zu

a)

S = \sum \frac{1}{3 \cdot k + {(- 1)}^{k}} > \sum \frac{1}{3 \cdot k + 3} = \sum \frac{1}{3 \cdot (k + 1)} = \frac{1}{3} \cdot \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{k + 1}

Wenn man will, kann man da substituieren oder Index-verschieben:

m = k + 1

S > ... = \frac{1}{3} \cdot \sum_{m = 1}^{\infty} \frac{1}{m}

Ja, die harmonische Reihe ist eine anschaulich geeignete Minorente.
Wenn schon die harmonische Reihe über alle Grenzen wächst, dann doch erst recht deine Reihe, die noch etwas "größer" ist.

\to

Die Reihe ist divergent.

zu

c)

Du hattest schon um

11 : 06 h

mit dem Quotientenkriterium nachgewiesen, dass die Reihe absolut konvergiert.
Ich hatte um

11 : 22 h

sogar noch bestätigend den Grenzwert aufgezeigt. Wenn ein Grenzwert existiert, dann muss die Reihe doch konvergent sein.

Warum du jetzt um

13 : 48 h

hierfür die harmonische Reihe ins Spiel bringst, dich selbst verunsicherst und zu dem unverständlichen, gegenteiligen Schluss kommst, die

c)

sei divergent, das wissen die Götter...

zu

b)

Ja, du hattest berechtigt mit dem Leipnitz-Kriterium die Konvergenz argumentiert. Ich habe nur deine Begründung noch sprachlich ein wenig geschärft.
Und ja, vermutlich erwartet die Aufgabenstellung noch eine Untersuchung, ob die Reihe auch absolut konvergent sei.
Und ja, hierfür hatte ich/wir dir schon Tipps zur harmonischen Minorente gegeben.

JJJMath aktiv_icon

16:30 Uhr, 24.05.2019

Danke dir.
War wohl ein bisschen durcheinander.
Da ich bei der

b)

gezeigt habe, dass sie konvergent ist, aber durch die harmonische Reihe eine Minorante gefunden habe, heißt das also, dass sie nicht absolut konvergent ist, oder?

anonymous

19:26 Uhr, 24.05.2019

b)

Korrekt.
In meinen Worten:

Mit dem Leibnitz-Kriterium konntest du gut begründet Konvergenz nachweisen.

Für die absolute Konvergenz hast du die Absolut-Beträge deiner Summanden betrachtet.
Mit der harmonischen Minorante konnten wir leicht zeigen, dass deine Reihe der Absolut-Beträge noch "größer" als die bekannte harmonische Reihe ist, also auch über alle Grenzen wächst.
Somit ist bewiesen, dass deine Reihe

b)

NICHT absolut konvergent ist

(,

sondern eben nur "konvergent").

JJJMath aktiv_icon

13:20 Uhr, 25.05.2019

Alles klar, vielen dank für die Hilfe.

Sitze nun an einer weiteren Aufgabe.
Und zwar möchte ich den Reihenwert folgender Reihe berechnen.

Summe von

k = 0

bis unendlich von

\frac{k + 7}{(k + 1) \cdot (k + 3) \cdot (k + 4)}

Dafür müsste ich jetzt erstmal eine Darstellung für den k-ten Summanden in der Form

(\frac{a 1}{k + 1}) + (\frac{a 2}{k + 2}) + (\frac{a 3}{k + 3})

finden.

anonymous

14:00 Uhr, 25.05.2019

Ja,

d . h

. entweder du bist bei der Aufgaben-Abschrift oder bei deiner Partialbruch-Darstellung verkommen. Wir sind uns doch sicher einig, dass die Faktoren der Aufgabenstellung auch wieder in der Partialbruch-Darstellung auftreten sollten.

Tipps:

>

Partialbruch-Zerlegung (hast du selbst schon angedeutet)

>

Teleskopsumme

1470955

1470860

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