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Konvergenz von Verfahren

Universität / Fachhochschule

Finanzmathematik

Tags: Konvergenzordnung

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18:49 Uhr, 19.07.2019

1) Zur Berechnung der Nullstelle

x \in [0, 2]

von

x^{2} - 4 x + 3 = 0

sollen die Iterationsverfahren

x^{(n + 1)} = f_{i} (x^{(n)})

mit

i \in {1, 2, 3}

f_{1} (x) = \frac{1}{4} (x^{2} + 3)

f_{2} (x) = \frac{x^{2} - 3}{2 x - 4}

f_{3} (x) = \sqrt{4 x - 3}

benutzt werden. Bestimmen Sie die Konvergenzordnung der Verfahren.

2) Für a>0 soll

\sqrt{a}

mit der Iterationsvorschrift

ϕ (t) = \frac{1}{2} (t + \frac{a}{t})

bestimmt werden.
a) In welchem Intervall ist die Kontraktionszahl kleiner als 0,5
b) Wie viele Iterationsschritte müssen (pessimistisch) durchgefürt werden, um einen Fehler von

ε = 1 0^{- 4}

zu gewährleisten?

Hallo Forum,

bei obigen Aufgaben brauche ich ganz dringend Hilfe, da ich übermorgen!! meine Numerik Klausur schreibe und deshalb etwas in den Altklausuren geschmökert habe. Wäre super wenn mir jemand die Lösung und eine kurze aber verständliche Erklärung geben könnte.

Die Grundlagen beherrsche ich soweit, aus Zeitgründen schreibe ich aber jetzt nicht meine ganzen Ansätze auf...
nur soviel:
a) hier habe ich bei i) linear, bei ii) superlinear und bei iii)nicht konvergent herausgefunden, stimmt das soweit? und wenn nein, wieso?

b) hier habe ich das ganze abgeleitet mit

f ʹ (x) = 0, 5 - 0, 5 * (a / t^{2})

und für alle t (ohne die 0) müsste die Kontraktionszahl doch kleiner als 0,5 sein?!
Welchen Startwert wählt man dann bei der Abschätzung (und verwendet man die 0,5 als Lipschitzkonstante (bzw. Kontraktionszahl)?)

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