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Konvergenz von rekursiven Folgen

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen

Darislav aktiv_icon

12:02 Uhr, 30.05.2023

Bevor ich anfange die Konvergenz zu beweisen, brauche ich eine Vermutung. Wie soll ich bei der Aufgabe auf die Vermutung kommen ?

Bild angefügt.

Bspw. bei der

a)

komme ich auf:

a 1 = 2; a 2 = \frac{5}{4}; a 3 = \frac{41}{64}

Angeblich soll es

2 -

Wurzel aus 3 sein.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

KL700 aktiv_icon

12:16 Uhr, 30.05.2023

a)

und

b) :

an wird immer größer

\to

Divergenz
Du kannst auch Teilbrüche bilden:

\frac{1}{4} + . .

c)

Erweitere zur 3. binomischen Formel

calc007

13:04 Uhr, 30.05.2023

Wenn eine Folge konvergent wäre, dann müsste sie ja konvergieren. Dummer Spruch, aber eigentlich lehrreich. Denn daraus kann man sich doch klar machen, was Konvergenz bedeutet. Das heisst doch, dass sich die Folgenwerte asymptotisch immer näher an einen Grenzwert anschmiegen.

D . h

. die Folgenwerte wären sehr, sehr dicht an einem Grenzwert, und zwar alle.
Das kann man doch nutzen. Wenn du dann mal näherungsweise davon ausgehst, dass du schon dicht am Grenzwert wärst, dann wäre doch

>

sowohl ein Glied

a_{n}

näherungsweise dicht an einem Grenzwert

g,

>

als auch sein Folgeglied

a_{n + 1}

näherungsweise sehr dicht an diesem Grenzwert

g

.

Jetzt machen wir mal diese Näherung, dann wird doch aus

a_{n + 1} = \frac{1 + a_{n}^{2}}{4}

ein

g = \frac{1 + g^{2}}{4}

Und schon hast du eine Gleichung mit nur noch einer Unbekannten
- und kannst diese Unbekannte "g" ausrechnen,
und dir klar machen, dass du dabei davon ausgegangen bist, dass das doch der Grenzwert sein soll...

Willst du mal?

HAL9000

14:33 Uhr, 30.05.2023

Am einfachsten ist (trotz der am kompliziertesten aussehenden Iteration) Aufgabe c): Für alle

a_{n} \geq 0

kann man dort durch Verkleinerung des Nenners schlicht abschätzen

0 \leq a_{n + 1} \leq \frac{a_{n}}{2}

,

womit induktiv unmittelbar

0 \leq a_{n} \leq \frac{a_{1}}{2^{n - 1}}

klar ist und damit

lim_{n \to \infty} a_{n} = 0

Mathe45

15:46 Uhr, 30.05.2023

a)

und

b)

a_{n + 1} = \frac{1 + a_{n}^{2}}{4}

Wann gilt

a_{n + 1} < a_{n}

\frac{1 + a_{n}^{2}}{4} < a_{n}

gilt, falls für alle

a_{n}

gilt

2 - \sqrt{3} < a_{n} < 2 + \sqrt{3}

In diesem Fall ist die Folge streng monoton fallend und nach unten begrenzt

\Rightarrow

Konvergenz.

a_{1} = 2 \Rightarrow . .

. siehe calc007

Für

a_{1} = 2 + \sqrt{3}

bzw.

a_{1} = 2 - \sqrt{3}

erhalten wir eine konstante Folge, die trivialerweise konvergent ist.

Wann gilt

a_{n + 1} > a_{n}

\frac{1 + a_{n}^{2}}{4} > a_{n}

gilt, falls für alle

a_{n}

gilt

a_{n} < 2 - \sqrt{3}

oder

a_{n} > 2 + \sqrt{3}

a_{1} = 5 \Rightarrow . .

Darislav aktiv_icon

15:58 Uhr, 30.05.2023

Mein erster Schritt ist es immer die ersten Folgenglieder auszurechnen. Allerdings wüsste ich nicht , wie ich auf

2 -

Wurzel aus 3 als Vermutung für den Grenzwert kommen soll? Taschenrechner ist nicht erlaubt!!!

calc007

16:03 Uhr, 30.05.2023

Na ja, wer lesen kann, der lese Beiträge von

\to 13 : 04 h

Darislav aktiv_icon

19:50 Uhr, 30.05.2023

Ist das für den Monotoniebeweis bei

a)

in Ordnung ?

Mathe45

20:03 Uhr, 30.05.2023

Ja,scheint akzeptabel zu sein.
Wie möchtest du jetzt weiter vorgehen?

HAL9000

20:04 Uhr, 30.05.2023

In den Schluss

a_{n} \leq a_{n - 1} \Rightarrow a_{n}^{2} \leq a_{n - 1}^{2}

geht implizit noch

0 \leq a_{n}

ein, das sollte zumindest noch erwähnt werden (also dass alle Folgenglieder positiv sind). Denn für beliebige reelle

a_{n}, a_{n - 1}

stimmt diese Implikation ja nicht.

michaL aktiv_icon

20:06 Uhr, 30.05.2023

Hallo,

> Ist das für den Monotoniebeweis bei a) in Ordnung ?

Nö.

Es würde reichen, wenn du in die Induktion

0 \leq a_{n - 1} \leq a_{n}

einbezögst.
Denn: Zwar gilt

- 2 < - 1

, doch ist

\frac{3}{4} = \frac{1 + (- 2)^{2}}{4} > \frac{1 + (- 1)^{2}}{4} = \frac{1}{2}

.

Mfg Michael

Mathe45

20:09 Uhr, 30.05.2023

Fehlt noch "nach unten begrenzt".
Können jemals negative Folgeglieder auftreten?

Darislav aktiv_icon

20:13 Uhr, 30.05.2023

Nach oben Beschränktheit:

Ist das gut so ?

Ich habe mir das so ein bisschen von Serlo abgeschaut, das Vorgehen

Mathe45

20:18 Uhr, 30.05.2023

Nach oben beschränkt ist hier nicht relevant da monoton fallend.

Darislav aktiv_icon

20:34 Uhr, 30.05.2023

Stimmt, es ist lediglich die Beschränktheit nach unten zu beweisen

So?

Mathe45

20:37 Uhr, 30.05.2023

Wie kommst du - rechnerisch und ohne TR - auf

2 - \sqrt{3}

?
Das hast du ja weiter oben als "Problem" angegeben.

Darislav aktiv_icon

20:45 Uhr, 30.05.2023

Grenzwert a

a = \frac{1 + a^{2}}{4}

Nach a umstellen, dann kommt

2 -

Wurzel aus 3 raus

Darislav aktiv_icon

20:46 Uhr, 30.05.2023

Konvergenz zu

a)

So ?

Danke im Voraus euch allen!

Mathe45

20:49 Uhr, 30.05.2023

Die logische Reihenfolge stimmt nicht.
Erst wenn du gezeigt hast, dass die Folge monoton fällt und nach unten beschränkt ist kannst du von der Existenz eines Grenzwertes ausgehen und diesen berechnen.
Du hast bis jetzt nur gezeigt, dass die Folge monoton fällt.

Du brauchst irgendeine untere Schranke und nicht notwendigerweise die größte untere Schranke.

a_{n + 1} = \frac{1}{4} + \frac{a_{n}^{2}}{4}

a_{n}^{2}

ist sicherlich stets

\geq 0

und

\frac{1}{4} + \frac{a_{n}^{2}}{4} > 0

Damit hat die Folge einen eindeutigen Grenzwert. Welcher der zwei berechneten Werte ist es nun und warum?

Mathe45

21:15 Uhr, 30.05.2023

b)

a_{1} = 5

Du wirst feststellen, dass die Folge streng monoton wächst. Das alleine wäre noch kein Kriterium für Divergenz.
Es gibt Folgen, die streng monoton wachsend sind UND konvergent

z . B

a_{n} = \frac{2 \cdot n - 1}{n}

.
Man muss auch zeigen, dass es keine obere Schranke gibt.

Darislav aktiv_icon

21:22 Uhr, 30.05.2023

Ich habe um

19 : 50

Uhr monoton fallend und um

20 : 34

Uhr die Beschränktheit nach unten bewiesen.

Eine monotone und beschränkte Folge konvergiert. —> Monotoniekriterium,

d . h

. ich darf dann die Konvergenz beweisen

Mathe45

21:34 Uhr, 30.05.2023

Die Beschränktheit war ja der - formale - Fehler, Die Beschränkung hast du unter der Annahme der Konvergenz bewiesen obwohl die Konvergenz zu diesem Zeitpunkt noch nicht bewiesen war.
Reihenfolge ; Monotonie, Beschränktheit

\Rightarrow

Konvergenz

\Rightarrow

Berechnung des Grenzwertes.
Deine Reihenfolge : Monotonie, Annahme einer Konvergen und Berechnung des Grenzwertes, daraus Beschränktheit ableiten.

HAL9000

10:10 Uhr, 31.05.2023

Bei b) kann man zeigen, dass die Folge nicht einfach nur wächst, sondern immer um einen festen positiven Mindestbetrag wächst: Ist

a_{n} \geq 4

, so folgt

a_{n + 1} = \frac{1 + a_{n}^{2}}{4} \geq \frac{1 + 4 a_{n}}{4} = a_{n} + \frac{1}{4}

bzw. ausgehend von

a_{1} \geq 4

dann induktiv

a_{n} \geq a_{1} + \frac{n - 1}{4}

für alle

n \geq 1

. Daraus folgt sofort die bestimmte Divergenz

lim_{n \to \infty} a_{n} = \infty

.

--------------------------------------------------------------------

Eine generelle Anmerkung zu solchen rekursiv definierten Folgen der Struktur

a_{n + 1} = T (a_{n})

: Ist

T

monoton wachsend, dann ist

(a_{n})

immer monoton, ich hab das vor 10 Jahren mal versucht zusammenzufassen:

http//www.matheboard.de/thread.php?postid=1733431#post1733431

Hat man zusätzlich noch die passende Beschränktheit (nach unten bei monoton fallend bzw. nach oben bei monoton wachsend) vorliegen, dann ist die Konvergenz der Folge

(a_{n})

gesichert. Ist zudem

T

stetig, dann muss deren Grenzwert ein Fixpunkt von

T

sein.

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