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Konvergenz zeigen

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Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen, Konvergenz, Majorantenkriterium????, Minorantenkriterium

wuschelhaeschen97 aktiv_icon

13:32 Uhr, 16.03.2019

Untersuche auf Konvergenz

das vor dem Summenzeichen steht eigentlich über und unter dem Summenzeichen.. ich wusste nicht, wie man das macht..

1) n=1 bis unendl.

\sum \frac{1}{5 n^{2} + \frac{1}{n}}

2) n=1 bis unendl.

\sum \frac{1}{7 n + \frac{1}{n^{2}}}

3) n=1 bis unendl.

\sum \frac{4^{n} + 1}{4^{n} + 2}

4) n=1 bis unendl.

\sum \frac{4^{n} + 1}{5^{n} + 2}

Ich hoffe es ist trotzdem verständlich

Meine Ideen:

3)

\frac{4^{n}}{4^{n} + 2} = \frac{4^{n}}{4^{n} + 2} + \frac{1}{4^{n} + 2}

der 1.Bruch würde ja gegen 1 laufen und der 2. gegen 0, also gegen 0 ??

Wobei etwas von den Minor- und Majorantenkriterium gesagt wurden ..hm

2)

1 / n^{2}

läuft ja gegen 0

\sum \frac{1}{7 n + \frac{1}{n^{2}}}

1 / 7 n

< 1/n

4)

\sum \frac{4^{n} + 1}{5^{n} + 2}

\frac{4^{n} + 1}{5^{n}}

4^{n} / 5^{n}

1 / 5^{n}

(4 / 5)^{n}

(1 / 5)^{n}

1^{n}

\frac{4^{n} + 1}{5^{n} + 2}

1^{n}

-> divergent (Minor.k.)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

pwmeyer aktiv_icon

15:40 Uhr, 16.03.2019

Hallo,

zunächst mal 2 Fragen zu Deinen Beiträgen:

"der 1.Bruch würde ja gegen 1 laufen und der 2. gegen

0,

also gegen 0 ??"
Was meinst Du damit? Welche Rechenregel verwendest Du dafür?

Ebenso:

= {(\frac{4}{5})}^{n} + {(\frac{1}{5})}^{n} = 1^{n}

Dann zitiere doch mal hier das Minoraten- und Majorantenkriterium, damit wir damit arbeiten können.

Gruß pwn

wuschelhaeschen97 aktiv_icon

17:06 Uhr, 16.03.2019

Major.

\forall n \geq n_{0} : ∣ a_{n} ∣ \leq b_{n} \Rightarrow \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n}

konvergent

Minor.

\forall n \geq n_{0} : a_{n} \geq b_{n} \Rightarrow \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n}

divergent

pwmeyer aktiv_icon

17:16 Uhr, 16.03.2019

Hallo,

wenn wir also bei

2)

mal

a_{n} = \frac{1}{7 \cdot n + \frac{1}{n^{2}}};

dann hast Du abgeschätzt:

a_{n} \leq \frac{1}{n}

.

Nützt Dir das etwas?

Falls nicht, wie wäre es mit der Abschätzung

a_{n} \geq \frac{1}{7 \cdot n + n} = \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{n}

Kannst Du denn für die

(3)

mal den Grenzwert von

\frac{4^{n} + 1}{4^{n} + 2}

bestimmen.

Gruß pwm

wuschelhaeschen97 aktiv_icon

16:20 Uhr, 17.03.2019

Mein Problem ist auch dass ich nicht weiß, wie viel ich jetzt "wegnehmen" kann
also bspw. bei der 3) unter dem Bruch aus

1 / n^{2}

ein n machen..

3) wäre ja durch das Minorantenk. divergent, da 1/8 * harmon. Reihe (-> divergent)

Bei 2) könnte man da jetzt sagen

\frac{4^{n} + 1}{4^{n} + 2} \geq \frac{4^{n} + 1}{4^{n} + 1} = 1

?

Aber dann hätte ich ja keine Verwendung des Minor-/Majorkriteriums...

pwmeyer aktiv_icon

08:26 Uhr, 18.03.2019

Hallo,

zunächst einmal hast Due die beiden Kriterien unvollständig zitiert: Was muss jeweils für

b_{n}

gelten, damit die Schlüsse gezogen werden?

Damit hätten wir dann

(2)

erledigt: Abschätzung nach unten durch

\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{n}

und die Reihe über

\frac{1}{n}

ist divergent. Also Divergenz für

(2)

Bei

(3)

haben wir:

a_{n} \to 1

. Notwendiges

(!)

Kriterium für die Konvergenz eine Reihe über

a_{n}

ist aber, dass

a_{n} \to 0

. Also Divergenz.

Gruß pwm

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