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Konvergenz/Divergenz

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen

 
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MathMP

MathMP

00:22 Uhr, 13.02.2020

Antworten
Hallo, folgende unendliche Reihe soll auf Konvergenz/absolute Konvergenz oder Divergenz überprüft werden.

4n+(-11)n-2019n3n11n-1+4n2

Als ersten Schritt habe ich wegen leichterer Handhabung den alternierenden Teil vom nicht alternierenden getrennt:


4n+(-11)n-2019n3n11n-1+4n2=4n-2019n3n11n-1+4n2+(-11)n3n11n-1+4n2

"Teil1"
4n-2019n3n11n-1+4n2(411)n

Wenn man sich alles wegdenkt außer den am stärksten wachsenden Teilen, also im Zähler 4n und im Nenner 11n stehen lässt kann man leicht zeigen, dass dieser Teil 1 abs. konvergiert mittels Majorantenkriterium.

Mein Problem ist Teil 2:(-11)n3n11n-1+4n2 Wie kann ich hier mittels Leibnizkriterium zeigen, dass diese Teilreihe konvergiert?


Danke für die Hilfe.






Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Antwort
Roman-22

Roman-22

01:57 Uhr, 13.02.2020

Antworten
> Wie kann ich hier mittels Leibnizkriterium zeigen, dass diese Teilreihe konvergiert?

In dem du den Bruch durch 11n kürzt (alternative Sichtweise: du klammerst 11n im Zähler und Nenner aus)
MathMP

MathMP

11:42 Uhr, 13.02.2020

Antworten
Danke für den Tipp, hab das mal befolgt(stimmt das so?):

(-11)n3n11n-1+4n2

an= (-11)n3n11n-1+4n2=(11)n-11n11n11n(3n-111n+4n211n)=(-1)n13n-111n+4n211n

jetzt hab ich noch gezeigt dass an eine monoton fallende Nullfolge ist, somit wäre Konvergenz der Ursprungsreihereihe 4n+(-11)n-2019n3n11n-1+4n2 gezeigt weil die beide Teile der Reihe:
4n+(-11)n-2019n3n11n-1+4n2=(-1)n13n-111n+4n211n+4n-2019n3n11n-1+4n2 konvergieren.

Wäre noch zu prüfen ob die Reihe auch absolut konvergiert:

4n+(-11)n-2019n3n11n-1+4n2
Mein Problem ist, dass bei manchen Aufgaben wie dieser es schwer ist zu sagen ob man mit Majorantenkriterium oder Minorantenkriterium prüfen sollte. Gibt es irgendwelche Tipps, wie man soetwas aus einer Reihe sehen kann?
Hab mal gehört, dass man versuchen kann sich alles wegzudenken außer den am stärksten wachsenden Teil zb. im Nenner 11n und im Zähler (-11)n, gibt es bessere "Tricks"?
Antwort
11engleich

11engleich

12:43 Uhr, 13.02.2020

Antworten
Hallo
Nein, das wäre auch mein Tipp. Konzentrier dich auf die dominierenden Teile.
Die hast du ja schon benannt:

(-11)n3n11n=(-1)n3n

Wie sieht nun der "absolute" Teil davon aus?

MathMP

MathMP

14:15 Uhr, 13.02.2020

Antworten
Hallo, ja der dominierende Teil ist hier 11n.

4n+(-11)n-2019n3n11n-1+4n2

Ich denk mir das dann so: Wenn ich alle Teile durch diesen dominanten Teil dividiere komme ich auf:


an= 11n(4n11n+(-11)n11n-2019n11n)11n(3n-111n+4n211n)

für große n und 11n gekürzt ergibt das an= (-1)n3n

hier sieht man schön dass der Betrag von an so ungefähr 1n12 ist Dadurch denk ich mir jetzt der Betrag Reihe wird warscheinlich divergieren, also nicht absolut konvergieren. Und das weiß ich dann mittels Minorantenkriterium nach.

Allerdings weiß ich nicht ob die Strategie Fehler bei anderen Beispielen aufweisen könnte, oder ist das das übliche Vorgehen?
Danke
Antwort
HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

14:32 Uhr, 13.02.2020

Antworten
Die für Leibniz eigentlich notwendigen Monotoniebetrachtungen des Nenners können hier leicht eklig werden, daher schlage ich eine Modifikation vor:

Wir streben ja an, zu der Reihe mit an=4n+(-11)n-2019n3n11n-1+4n2 die Vergleichsreihe mit den Gliedern bn=(-1)n3n zu bemühen, von der wissen wir laut Leibniz, dass sie konvergiert (aber nicht absolut). Wenn wir jetzt noch nachweisen, dass auch n(an-bn) konvergiert, sind wir fertig. Rechnen wir es kurz aus

an-bn=3n(4n+(-11)n-2019n)-(-1)n(3n11n-1+4n2)3n(3n11n-1+4n2)=3n(4n-2019n)-(-1)n(-1+4n2)9n11n+3n(-1+4n2)

Die dominanten Terme in Zähler bzw. Nenner sind 3n4n bzw. 9n11n, damit kann man den Gesamtbruch für große n durch die konvergente geometrische Reihe n(411)n nach oben abschätzen.
MathMP

MathMP

21:36 Uhr, 13.02.2020

Antworten
Hallo, danke für den Vorschlag.

Was denkst du über meine Strategie bei Reihen zur Ansatzfindung? Mein Problem ist weniger das Abschätzen oder Berechnen von Reihen, aber herauszuerkennen wie ich aus einer Reihe "sehe" ob sie konvergiert bzw. divergiert und so ein geeignetes Kriterium zu wählen fällt mir schwer.

Als Beispiel ein recht unübersichtliches Beispiel:

ln(3n)2n+(-1)nn2cos(n!)3n+n

Wie könnte ich jetzt am besten vorgehen um zu sehen, ob ich beispielsweise eine Minorante oder Majorante abschätzen muss?

Meine Vorgehen wäre: trennen des alternierenden Teils vom nicht alternierenden( besserer Überblick):

ln(3n)2n+(-1)nn2cos(n!)3n+n=ln(3n)2n3n+n+(-1)nn2cos(n!)3n+n

Jetzt beim Ausdruck mit ln ist der dominante Teil 3n, oben im Zähler findet sich kein vergleichbar dominanter Teil, weil der ln(3n)2n durch den ln schwach wird.
Also würde ich den ersten Teil so circa. auf (13)n schätzen, also demnach mit Majorantenkriterium versuchen absolute Konvergenz zu zeigen.

Beim zweiten Teil im Nenner wieder 3n und im Zähler n2 am dominantesten. n2 wird aber langsamer wachsen als 3n wieder (13)n so circa, also wieder Ansatz mit Majorantenkriterium versuchen.

Wie sind eure Gedankengänge zu einer solchen geeigneten Kriteriumsfindung? Weil wenn man will kann man ja von beiden Teilen genauso eine falsche Minorante abschätzen, was dann aber falsch wäre, weil mans falsch "gesehen" hat.
Antwort
HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

22:21 Uhr, 13.02.2020

Antworten
Dominante Teile identifizieren!

Leider ist dein Term ln(3n)2n missverständlich: Die einen verstehen darunter (ln(3n))2n, die anderen ln((3n)2n) (und beide Seiten haben gute Gründe). Es sollte daher erstmal geklärt werden, um welche der beiden Varianten es geht.

MathMP

MathMP

23:12 Uhr, 13.02.2020

Antworten
"Dominante Teile identifizieren" Oke, im Zähler und im Nenner jeweils den Dominantesten? Wie kann man dann weitervorgehen ? Vielleicht durch den dominantesten Teil jeweils Nenner und Zähler teilen (also ausklammern)?

Beim Term handelt es sich um ln((3n)2n). Entschuldige die nicht eindeutige Darstellung.
Antwort
HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

06:55 Uhr, 14.02.2020

Antworten
Dann kann man doch kräftig vereinfachen: ln((3n)2n)=ln(3n2n)=ln(3)n2n.

Dieser Term ist der dominante Term im Zähler, d.h., er wächst schneller als der Betrag des Restes (-1)nn2cos(n!), denn für den gilt ja (-1)nn2cos(n!)n2.

Im Nenner ist 3n der dominante Part, es geht also im wesentlichen um das Verhalten von ln(3)n2n3n für n. Und da sieht es so aus, dass hier sogar das Quotientenkriterium greift.
MathMP

MathMP

11:58 Uhr, 14.02.2020

Antworten
Ja, aber wenn ich beispielsweise das Qutientenkriterium anwenden will, sollte ich ja den Ausdruck cos(n!) und (-1)n "wegschätzen". So dass ich auf einen schöneren Ausdruck für das Quotientenkriterium komme.
Genau hier liegt das Problem schätze ich für die Reihe ln((3n)2n)+(-1)nn2cos(n!)3n+n nun eine Majorante ab oder eine Minorante und wie kann ich das sehen, welche die richtige wäre?

Mein Bedenken ist: ich schätze die Rehe beispielsweise mit einer Minorante ab und wende auf den vereinfachten Ausdruck das Quotientenkriterium an, nun kommt beim Quotientenkriterium aber raus, dass meine Minorante konvergiert. Somit ist das doch falsch. Ich hätte eine Majorante abschätzen sollen?
Muss man das schon vorher sehen ? oder stimmt meine Aussage nicht?
Danke
Antwort
HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

12:28 Uhr, 14.02.2020

Antworten
Ich rede hier jetzt überhaupt nicht über Majoranten oder Minoranten, sondern DIREKT über das Quotientenkriterium!!!

Ähnlich wie oben mit dem 11n kannst du hier im Zähler 2n ausklammern und im Nenner 3n, das ergibt für das Reihenglied

an=2n3nln(3)n+(-1)nn2cos(n!)2n1+n3n .

Nun zum Quotienten:

an+1an=23ln(3)(n+1)+(-1)n+1(n+1)2cos((n+1)!)2n+11+n+13n+11+n3nln(3)n+(-1)nn2cos(n!)2n


Der ganze Kladderadatsch NACH dem 23 konvergiert gegen 1, so dass wir Konvergenz laut Quotientenkriterium haben.

MathMP

MathMP

14:19 Uhr, 14.02.2020

Antworten
Achso, jetzt verstehe ich. Wir nehmen jeweils vom Zähler und Nenner den am stärksten wachsenden Part, klammern diesen aus und dann fällt das meiste weg, weil n unendlich geht.
Danke, solch eine Lösungsmöglichkeit hatte ich nicht auf dem Schirm. Ich hab bei Quotientenkriterium immer nur stumpf eingesetzt (ohne am stärksten wachsenden Teil auszuklammern) und dann gekürzt.

Ich hätte noch eine Frage: Es ist ja erlaubt mehrere Kriterien auf eine Reihe anzuwenden, also zb. vorher den Ausdruck mit Majorantenkriterium zu vereinfachen und dann zb. mit Quotientenkriterium zeigen, dass es absolut konvergiert.
Was mache ich aber bei folgenden Fällen: Man schätzt eine Minorante ab und dann wendet man Quotientenkriterium an und es kommt raus das die Minorante konvergiert. Was bedeutet es dann bzw. was muss man dann machen? Dann haben wir doch einen Widerspruch nicht?
Antwort
HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

14:36 Uhr, 14.02.2020

Antworten
> Man schätzt eine Minorante ab und dann wendet man Quotientenkriterium an und es kommt raus das die Minorante konvergiert. Was bedeutet es dann

Es bedeutet, dass man seine Zeit verschwendet hat: Das Abschätzen einer positiven Reihe NACH UNTEN durch eine konvergente Reihe hat die Aussagekraft Null für die Ausgangsreihe - es ist dann nach wie vor alles möglich, Konvergenz wie Divergenz.

Gleiches gilt für die Abschätzung nach oben durch eine divergente Reihe.

MathMP

MathMP

16:54 Uhr, 14.02.2020

Antworten
Danke!

Was würdest du bei folgender Reihe machen:


(2ntan-1(3n+cos(n!))+n2)25n+n3-1

1) am dominantesten im Zähler 4n, im Nenner 5n, also (45)n vermute Konvergenz.

2) Majorantenkriterium


(2ntan-1(3n+cos(n!))+n2)25n+n3-1(2nπ2+n2)25n-1=4n(π2)2+22nπ2n2+n45n-14n+4n+4n5n-125n=34n125n=6(45)n

(4n>22nπ2n2 für hinreichend große n)

Da 6(45)n konvergente Majorante, konvergiert auch Ursprungsreihe.

Gäbe es eine einfachere Möglichkeit? Vielleicht wieder mit ausklammern und QK? Oder ist meine die leichteste ?













Antwort
ledum

ledum aktiv_icon

21:52 Uhr, 14.02.2020

Antworten
Hallo
wie hier, wenn man fast direkt ne Majorane also die 45 sieht ist das die schnellste Lösung.
Gruß ledum
MathMP

MathMP

23:11 Uhr, 14.02.2020

Antworten
Danke, also stimmt meine Lösung?

Wolframalpha behauptet die Reihe würde divergieren, kennt jemand einen Rechner oder einen Trick mit dem ich mit dem Computer beliebige Reihen überprüfen kann ob sie konvergieren bzw. divergieren? Hab beim googlen leider nichts brauchbares gefunden..
Antwort
HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

00:13 Uhr, 15.02.2020

Antworten
> Wolframalpha behauptet die Reihe würde divergieren

Da tippe ich mal eher auf eine Fehleingabe oder -interpretation der Ausgabe.
MathMP

MathMP

10:20 Uhr, 15.02.2020

Antworten
Stimmt, habe bei Wolframalpha unrecht gehabt.
Ein Programm, in welchen sogar die einzelnen Kriterien mit Schritten durchgerechnet werden wird es nicht geben, oder?


In der Skizze von Wolframalpha sieht man schön, dass es gegen einen Wert gehen wird, aufgrund der abgeflachten Kurve. Leider aber ohne weitere Informationen dazu, lediglich die Skizze wird angezeigt.


Antwort
ledum

ledum aktiv_icon

18:40 Uhr, 15.02.2020

Antworten
Hallo
Nein, das müsste ja schon sehr intelligent sein, und nur für 1. Semester, die so sinnfreie Reihen untersuchen müssen.
ledum
Frage beantwortet
MathMP

MathMP

14:10 Uhr, 16.02.2020

Antworten
:-D)
Danke für die Hilfe
MathMP

MathMP

22:52 Uhr, 16.02.2020

Antworten
Hallo, beim weiteren Üben bin ich auf folgende Reihe gestoßen:


n+2tan-1(n3)ln(8n-n)πn+n2+|sin(n2)|


Mein Problem: Ich kann nicht heraussehen, ob diese konvergiert oder divergiert.

2 Fragen: 1) Könnte ich ohne zu wissen ob sie konvergiert oder divergiert, erstmal ein Majorante abschätzen zum Vereinfachen und dann von der Majorante mit Quotientenkriterium ermitteln ob es sich um abs. Konvergenz handelt.
Falls sich dann mittels Quotientenkriterium herausstellt, dass die Majorante divergiert, würde ich nochmal neu beginnen und dann entsprechend eine einfache Minorante abschätzen und dann von derer die Divergenz mittels Quotientenkriterium zeigen.
Sollte sich aber herausstellen, dass meine Majorante mittels QK konvergiert, wäre ich fertig.
Ist das eine gute Idee, bei solchen Reihen so vorzugehen?

Also mal "blind" eine Majorante abschätzen dann schauen ob es mittels QK konvergiert, wenn nicht dann von neu anfangen und Minorante abschätzen, ansonsten gelöst.

2) Gäbe es eine andere Möglichkeit? Direkt das Quotientenkriterium anzuwenden ist doch sehr umständlich, nicht?

Danke















Antwort
ledum

ledum aktiv_icon

23:16 Uhr, 16.02.2020

Antworten
Hallo
1, Gedanke ;3n schlägt alles also erst mal Bruch>Zähler /πn jetzt den Zähler tan-1<π2,ln(8n-n)<ln(9n) ab irgendeinem n also insgesamt n+π2nln(9)<5n
damit 5nπn> dem Bruch also konvergente Dominante.
Bitte neue Aufgaben auch wenn sie zum selben Thema gehören in neuen threads
Gruß ledum
MathMP

MathMP

23:39 Uhr, 16.02.2020

Antworten
Danke für den Hinweis,werde das nächste mal einen neue Frage erstellen.


Zu der Aufgabe: Du hast 5nπn abgeschätzt. Ich hätte gedacht man darf nur mit 2 bekannten Reihen, nämlich der harmonischen und der geometrischen Reihe abschätzen.
Ich kenne nur :1nf, mit f>1 und (q)n, mit q<1

Hatte immer Probleme damit, wenn im Zähler zb. ein n war und im Nenner eine beliebige Zahl hoch n, also im Zähler und Nenner einmal xn und einmal nx war, als dominanter Teil (also nichtgleiche Sorte). Weil ja dann genau solch ein Ausdruck wie 5nπn entsteht. Könntest du mir bitte erklären wieso 5nπn konvergent ist? Welche Ausdrücke gibt es noch von dieser "Mischsorte" und welche konvergieren bzw. divergieren?
Danke


Antwort
abakus

abakus

00:37 Uhr, 17.02.2020

Antworten
Erst mal sollte die Bedeutung von tan-1(x) geklärt werden.
Ist das 1/tan(x) oder (in Taschenrechner-Analogie) die Verballhornung von arctan(x) ?
MathMP

MathMP

00:50 Uhr, 17.02.2020

Antworten
arctan(x) hab ich mit tan-1(x) gemeint...


Antwort
11engleich

11engleich

07:28 Uhr, 17.02.2020

Antworten
Hallo
Also mit "blindem" Abschätzen kann man glücklich irgendwann an's Ziel kommen. Aber vermutlich willst du ja nicht 27-mal probieren, sondern etwas intelligenter und 'studierter' an's Ziel kommen.

Auch ich habe Fragen:
a)
Du schreibst:
tan-1 (…)
Was genau meinst du damit?
Formal wäre das gleich
1tan(...)
Sehr häufig verstehen die Teilnehmer aber den
arctan
hier drunter.
Also, um unmissverständlich verstehen zu können: Bitte um Klarstellung.

PS:
Upps, sorry, da waren ja schon eine Menge Beiträge, die mindestens die Frage um arctan schon klärten...

b)
Wir hatten in diesem Thread ja schon mal empfohlen und Übereinkunft gefunden, dass wir uns sinnvoller Weise auf die dominierenden Teile konzentrieren wollten.
Beobachte dich doch mal selbst: Du verlierst zuletzt wieder hunderte Worte, ohne verständlich zu machen, welche Dinge dominieren
> im Zähler?
> im Nenner?

b.2)
Weiter bzgl. Dominanz:
Wenn es dir nicht selbst auffällt, dann der Tipp:
Hilft uns vielleicht eine geschickte Majorante zum Teilausdruck
ln(8n-n)
? Vorschläge?

c)
"Gäbe es eine andere Möglichkeit?"
Ungeschickt "blinde" und glückliche bestimmt sogar mehr als die erwähnten 27.
"Direkt das Quotientenkriterium anzuwenden ist doch sehr umständlich, nicht?"
Ja.

MathMP

MathMP

11:12 Uhr, 17.02.2020

Antworten
Hallo,

zu b)

Dominanz
Im Zähler: ln(8n-n)
Im Nenner: πn


zu b.2)

ln(8n-n)πn Für mich nicht ersichtlich ob es konvergiert oder divergiert, da es sich nicht um die Form qn oder 1nf handelt.
Wie kann ich solche einen Ausdruck zuordnen?

Antwort
11engleich

11engleich

13:04 Uhr, 17.02.2020

Antworten
Wie soll ich dir helfen, ohne die Lösung zu verraten?
Mit etwas Übung und Erfahrung sieht man eigentlich:

(8n-n)
Na, was soll da das "-n" ??
Bei einigermaßen erheblichen n ist
8n
doch eindeutig dominant,
gegenüber dem lächerlich wenigen, das ein -n abziehen kann.
Folglich ist
(8n-n)= ca. (8n)

Und folglich empfiehlt sich die Majorante:
ln(8n-n)= ca. ln(8n)=nln(8)


Und wiederum folglich ist:
n+2*arctan(n^3)*ln(8^n -n)= ca. n+2*arctan(n^3)*n*ln(8) = n*[1+2*arctan(n^3)*ln(8)]

Willst du mal weiter machen?

MathMP

MathMP

14:19 Uhr, 17.02.2020

Antworten
Das Abschätzen einer Majorante ist nicht mein Problem.
Mein Problem ist aber, wie man überhaupt vom Ausdruck ln(8n-n)πn auf die Idee kommt eine Majorante und keine Minorante abzuschätzen.

Woher weiß ich, dass ln(8n-n)πn konvergiert? Ich könnte ja genausogut eine Minorante von dem Ausdruck abschätzen. Wenn ich ln(8n-n) auf auf 8n abschätze hab ich ja bereits eine Majorante abgeschätzt, aber wie kann ich wissen ob ich überhaupt eine Majorante und keine Minorante brauche?


Ich denke ich habe mich fälschlich ausgedrückt: Das Problem ist nicht das Abschätzen einer Majorante oder einer Minorante aber wie man weiß, dass man eine Majorante oder Minorante abschätzen sollte, ist mein Problem.


Bei den meisten ausdrücken kann ich das sofort sagen, wenn ich mir die Dominanten im Zähler und Nenner jeweils ansehe: Ich zähle jetzt 3 Beispiele auf, dann wird deutlich was ich meine.


1)n2n3 als dominanteste sofort ersichtlich, gesamte Ursprungsreihe wird divergieren ich brauche also eine Minorante von der Ursprungsreihe.

2)3n5n als dominanteste auch wieder sofort ersichtlich, wird konvergieren ich brauche also Majorante von Ursprungsreihe.

3)3nn2 als dominateste DAS Problem, weil "Mischausdruck", ich kann nicht sagen ob das konvergiert oder nicht, also weiß ich nicht ob ich Majorante oder Minorante brauche.

Gleiche bei "Mischausdruck" ln(8n-n)πn sgt mir auch nichts.

Wie muss man mit diesen "Mischausdrücken" umgehen?

Antwort
HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

17:21 Uhr, 17.02.2020

Antworten
Abschätzung ln(8n-n)ln(8n)=nln(8) hat 11engleich ja schon genannt.

Und folgendes Grundwissen sollte man sich zumindest nach ein paar Beispielen angeeignet haben: JEDE Polynomfunktion (und damit speziell auch jede lineare Funktion, wie es nln(8) eine ist) wächst betragsmäßig langsamer als JEDE Exponentialfunktion an, sofern a>1, das gilt auch für a=π.

Du stellst immer diese stereotypen "woher weiß man..."-Fragen: Übung, Übung, Übung!!! Du kannst jetzt kaum erwarten, dass wir dir die in Jahren bzw. Jahrzehnten angesammelten Erfahrungen in einem kleinen übersichtlichen Regelwerk (welches alle Term-Eventualitäten erfasst) zusammenfassen. Wenn du sowas suchst, dann kannst du ja den diesbezüglichen Quelltext von CAS studieren (es gibt ja da auch ein paar als Freeware, z.B. Maxima) - ich fürchte nur, das wird eher eine langwierige Angelegenheit.


MathMP

MathMP

17:34 Uhr, 17.02.2020

Antworten
Danke für die Antwort. Mir ist klar, dass man nicht alle Sonderfälle berücksichtigen kann aber solche "Mischausdrücke" bereiten mir halt Probleme.


Ja ich weiß, dass jede logarithmusnfunktion langsamer als jede Potenzfunktion wächst.

Heißt das etwa, dass man das daran sieht, dass im Zähler etwas steht was schneller wächst als im Nenner und man daraus folgern kann, dass man eine Majorante braucht?

Also ln(8n)πn ich brauche Majorante der Ursprungsreihe weil πn>ln(8n), also Nenner wächst schneller als Zähler?
Antwort
11engleich

11engleich

23:43 Uhr, 17.02.2020

Antworten
"Woher weiß ich, ..."
"aber wie kann ich wissen(,) ob ich überhaupt eine Majorante und keine Minorante brauche?"
Nennen wir es Übung, Überblick, Routine, Eindenkungsvermögen, Fachwissen, Können - und ein bisschen Glück und Probieren gehört nach wie vor sehr oft auch dazu.

Es geht bei der Suche nach den Dominanzen im Wesentlichen darum, aus diesen Dominanzen eine Ahnung zu bekommen - und aus dieser Ahnung heraus wirst du dann zielgerichteter als nur durch 'Probieren' wissen, wie du vorzugehen hast oder erfolgversprechender Ausprobieren kannst.

In dem zuletzt genannten Beispiel konnten wir mit ein wenig geschultem Blick und über die Dominanzen den zunächst komplex aussehenden Ausdruck auf ein simples und übersichtliches
7,533nπn
reduzieren.

Und dem sieht man dann wiederum an:
Die Exponentialfunktion im Nenner dominiert über die lineare Funktion im Zähler.
Also werden wir den dringenden Verdacht haben, dass die Reihe konvergent ist.
Also werden wir diesen Verdacht sinnvollerweise über eine Majorante zu beweisen suchen.

MathMP

MathMP

14:45 Uhr, 18.02.2020

Antworten
Danke, ich schätze deine Mühen wirklich sehr.

Ja das klingt jetzt alles für mich logisch.

Wenn ich nun so einen Mischausdruck von Dominanzen hätte wie (3nn!) würde ich nun auch auf Konvergenz der Ursprungsruheihe (aus welchen ich diese Dominanzen habe) tippen.

Das n! wächst ja viel schneller als 3n wäre meine Begründung.

Eine weitere Möglichkeit um zu sehen, dass Dominanzen konvergieren oder divergieren ist mir für Mitleser, welche auch damit Probleme haben, noch eingefallen.


Wenn man für die isolierten Dominanzen das Qoutientenkriterium anwendet (geht schnell) sieht man ja was die Dominanzen machen, also ob konvergernt oder divergent. Somit gut begründeter Verdacht Majorante oder Minorante abzuschätzen.

Beispiel mit Dominanzen von 3nn!

Quotientenkriterium anwenden 3n+1(n+1)!3nn!=3n+10
0<1 konvergent, sprich ich schätze für Ursprungsreihe Majorante ab, weil die Dominanzen konvergieren und die Dominanzen nunmal das Verhalten der Gesamtreihe bestimmen..

Was halten die Profis von dieser Taktik, wenn man als Anfänger mit "sehen" Probleme hat?
Antwort
supporter

supporter aktiv_icon

15:02 Uhr, 18.02.2020

Antworten
Das Quotientenkriterium ist hier das Mittel der Wahl, wie du ja selber
gezeigt hast.


Der Summenwert ist e3.
Es gilt: n=11n!=e
Antwort
11engleich

11engleich

17:43 Uhr, 18.02.2020

Antworten
Hallo
"ich schätze für Ursprungsreihe Majorante ab, weil die Dominanzen konvergieren und die Dominanzen nun mal das Verhalten der Gesamtreihe bestimmen."
Ich ahne, was du sagen willst und stimme überwiegend zu.

Zu Bedenken will ich geben, dass du dir schon bewußt bleiben solltest, und für Arbeiten verständlich machen solltest
> was Vermutung
> und was Beweisführung
ist.
Die Vermutungen dienen einfach dazu, dich schnell auf das richtige Gleis in die richtige Richtung zu stellen, deine Ahnungen und Intuitionen auf die Dinge zu konzentrieren, die dann mit Erfolgsaussichten auch zum Ziel führen.

Die Beweisführung dagegen ist dann schon auch formal noch ein wenig anspruchsvoller.
Dein Schulbeispiel mit diesem
ln(8n-n)
war ja noch übungshaft so aufgestellt, dass eine Majorante leicht zu finden war.
Wir fanden
ln(8n)=nln(8)
als Majorante für dieses ln(8n-n).

Bedenke:
Wäre die Aufgabe nur ein klein wenig anders gestellt gewesen, und hätte der entsprechende Ausdruck
ln(8n+n)
geheißen,
> dann sagt mir und uns die Intuition sehr schnell, dass auch das konvergent wäre,
> nur die Suche der Majorante zur Beweisführung ist dann nicht mehr ganz so augenfällig, sondern schon ein klein wenig verzwickter.

Frage beantwortet
MathMP

MathMP

22:37 Uhr, 18.02.2020

Antworten
Danke für die Hilfe!