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Konvergenz/Divergenz

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen

MathMP

00:22 Uhr, 13.02.2020

Hallo, folgende unendliche Reihe soll auf Konvergenz/absolute Konvergenz oder Divergenz überprüft werden.

\sum \frac{4^{n} + {(- 11)}^{n} - 2019 n}{3 \cdot \sqrt{n} \cdot 11^{n} - 1 + 4 n^{2}}

Als ersten Schritt habe ich wegen leichterer Handhabung den alternierenden Teil vom nicht alternierenden getrennt:

\sum \frac{4^{n} + {(- 11)}^{n} - 2019 n}{3 \cdot \sqrt{n} \cdot 11^{n} - 1 + 4 n^{2}} = \sum \frac{4^{n} - 2019 n}{3 \cdot \sqrt{n} \cdot 11^{n} - 1 + 4 n^{2}} + \sum \frac{{(- 11)}^{n}}{3 \cdot \sqrt{n} \cdot 11^{n} - 1 + 4 n^{2}}

"Teil1"

\sum \frac{4^{n} - 2019 n}{3 \cdot \sqrt{n} \cdot 11^{n} - 1 + 4 n^{2}} \leq {(\frac{4}{11})}^{n}

Wenn man sich alles wegdenkt außer den am stärksten wachsenden Teilen, also im Zähler

4^{n}

und im Nenner

11^{n}

stehen lässt kann man leicht zeigen, dass dieser Teil 1 abs. konvergiert mittels Majorantenkriterium.

Mein Problem ist Teil

2 : \sum \frac{{(- 11)}^{n}}{3 \cdot \sqrt{n} \cdot 11^{n} - 1 + 4 n^{2}}

Wie kann ich hier mittels Leibnizkriterium zeigen, dass diese Teilreihe konvergiert?

Danke für die Hilfe.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Roman-22

01:57 Uhr, 13.02.2020

>

Wie kann ich hier mittels Leibnizkriterium zeigen, dass diese Teilreihe konvergiert?

In dem du den Bruch durch

11^{n}

kürzt (alternative Sichtweise: du klammerst

11^{n}

im Zähler und Nenner aus)

MathMP

11:42 Uhr, 13.02.2020

Danke für den Tipp, hab das mal befolgt(stimmt das so?):

\sum \frac{{(- 11)}^{n}}{3 \cdot \sqrt{n} \cdot 11^{n} - 1 + 4 n^{2}}

an=

\frac{{(- 11)}^{n}}{3 \cdot \sqrt{n} \cdot 11^{n} - 1 + 4 n^{2}} = \frac{{(11)}^{n} \cdot \frac{- 11^{n}}{11^{n}}}{11^{n} \cdot (3 \cdot \sqrt{n} - \frac{1}{11^{n}} + \frac{4 n^{2}}{11^{n}})} = {(- 1)}^{n} \cdot \frac{1}{3 \cdot \sqrt{n} - \frac{1}{11^{n}} + \frac{4 n^{2}}{11^{n}}}

jetzt hab ich noch gezeigt dass an eine monoton fallende Nullfolge ist, somit wäre Konvergenz der Ursprungsreihereihe

\sum \frac{4^{n} + {(- 11)}^{n} - 2019 n}{3 \cdot \sqrt{n} \cdot 11^{n} - 1 + 4 n^{2}}

gezeigt weil die beide Teile der Reihe:

\sum \frac{4^{n} + {(- 11)}^{n} - 2019 n}{3 \cdot \sqrt{n} \cdot 11^{n} - 1 + 4 n^{2}} = \sum {(- 1)}^{n} \cdot \frac{1}{3 \cdot \sqrt{n} - \frac{1}{11^{n}} + \frac{4 n^{2}}{11^{n}}} + \sum \frac{4^{n} - 2019 n}{3 \cdot \sqrt{n} \cdot 11^{n} - 1 + 4 n^{2}}

konvergieren.

Wäre noch zu prüfen ob die Reihe auch absolut konvergiert:

\sum \frac{4^{n} + {(- 11)}^{n} - 2019 n}{3 \cdot \sqrt{n} \cdot 11^{n} - 1 + 4 n^{2}}

Mein Problem ist, dass bei manchen Aufgaben wie dieser es schwer ist zu sagen ob man mit Majorantenkriterium oder Minorantenkriterium prüfen sollte. Gibt es irgendwelche Tipps, wie man soetwas aus einer Reihe sehen kann?
Hab mal gehört, dass man versuchen kann sich alles wegzudenken außer den am stärksten wachsenden Teil zb. im Nenner

11^{n}

und im Zähler

{(- 11)}^{n},

gibt es bessere "Tricks"?

anonymous

12:43 Uhr, 13.02.2020

Hallo
Nein, das wäre auch mein Tipp. Konzentrier dich auf die dominierenden Teile.
Die hast du ja schon benannt:

\sum \frac{{(- 11)}^{n}}{3 \cdot \sqrt{n} \cdot 11^{n}} = \sum \frac{{(- 1)}^{n}}{3 \cdot \sqrt{n}}

Wie sieht nun der "absolute" Teil davon aus?

MathMP

14:15 Uhr, 13.02.2020

Hallo, ja der dominierende Teil ist hier

11^{n}

\sum \frac{4^{n} + {(- 11)}^{n} - 2019 n}{3 \cdot \sqrt{n} \cdot 11^{n} - 1 + 4 n^{2}}

Ich denk mir das dann so: Wenn ich alle Teile durch diesen dominanten Teil dividiere komme ich auf:

an=

\frac{11^{n} \cdot (\frac{4^{n}}{11^{n}} + \frac{{(- 11)}^{n}}{11^{n}} - \frac{2019 n}{11^{n}})}{11^{n} \cdot (3 \cdot \sqrt{n} - \frac{1}{11^{n}} + \frac{4 n^{2}}{11^{n}})}

für große

n

und

11^{n}

gekürzt ergibt das

\to

an=

\frac{{(- 1)}^{n}}{3 \cdot \sqrt{n}}

hier sieht man schön dass der Betrag von an so ungefähr

\frac{1}{n^{\frac{1}{2}}}

ist

\to

Dadurch denk ich mir jetzt der Betrag Reihe wird warscheinlich divergieren, also nicht absolut konvergieren. Und das weiß ich dann mittels Minorantenkriterium nach.

Allerdings weiß ich nicht ob die Strategie Fehler bei anderen Beispielen aufweisen könnte, oder ist das das übliche Vorgehen?
Danke

HAL9000

14:32 Uhr, 13.02.2020

Die für Leibniz eigentlich notwendigen Monotoniebetrachtungen des Nenners können hier leicht eklig werden, daher schlage ich eine Modifikation vor:

Wir streben ja an, zu der Reihe mit

a_{n} = \frac{4^{n} + (- 11)^{n} - 2019 n}{3 \sqrt{n} \cdot 1 1^{n} - 1 + 4 n^{2}}

die Vergleichsreihe mit den Gliedern

b_{n} = \frac{(- 1)^{n}}{3 \sqrt{n}}

zu bemühen, von der wissen wir laut Leibniz, dass sie konvergiert (aber nicht absolut). Wenn wir jetzt noch nachweisen, dass auch

\sum_{n} (a_{n} - b_{n})

konvergiert, sind wir fertig. Rechnen wir es kurz aus

a_{n} - b_{n} = \frac{3 \sqrt{n} (4^{n} + (- 11)^{n} - 2019 n) - (- 1)^{n} (3 \sqrt{n} \cdot 1 1^{n} - 1 + 4 n^{2})}{3 \sqrt{n} (3 \sqrt{n} \cdot 1 1^{n} - 1 + 4 n^{2})} = \frac{3 \sqrt{n} (4^{n} - 2019 n) - (- 1)^{n} (- 1 + 4 n^{2})}{9 n \cdot 1 1^{n} + 3 \sqrt{n} (- 1 + 4 n^{2})}

Die dominanten Terme in Zähler bzw. Nenner sind

3 \sqrt{n} 4^{n}

bzw.

9 n \cdot 1 1^{n}

, damit kann man den Gesamtbruch für große

n

durch die konvergente geometrische Reihe

\sum_{n} {(\frac{4}{11})}^{n}

nach oben abschätzen.

MathMP

21:36 Uhr, 13.02.2020

Hallo, danke für den Vorschlag.

Was denkst du über meine Strategie bei Reihen zur Ansatzfindung? Mein Problem ist weniger das Abschätzen oder Berechnen von Reihen, aber herauszuerkennen wie ich aus einer Reihe "sehe" ob sie konvergiert bzw. divergiert und so ein geeignetes Kriterium zu wählen fällt mir schwer.

Als Beispiel ein recht unübersichtliches Beispiel:

\sum \frac{{ln (3^{n})}^{2^{n}} + {(- 1)}^{n} \cdot n^{2} \cdot cos (n!)}{3^{n} + n}

Wie könnte ich jetzt am besten vorgehen um zu sehen, ob ich beispielsweise eine Minorante oder Majorante abschätzen muss?

Meine Vorgehen wäre:

\to

trennen des alternierenden Teils vom nicht alternierenden( besserer Überblick):

\sum \frac{{ln (3^{n})}^{2^{n}} + {(- 1)}^{n} \cdot n^{2} \cdot cos (n!)}{3^{n} + n} = \sum \frac{{ln (3^{n})}^{2^{n}}}{3^{n} + n} + \sum \frac{{(- 1)}^{n} \cdot n^{2} \cdot cos (n!)}{3^{n} + n}

Jetzt beim Ausdruck mit

ln

ist der dominante Teil

3^{n},

oben im Zähler findet sich kein vergleichbar dominanter Teil, weil der

{ln (3^{n})}^{2^{n}}

durch den

ln

schwach wird.
Also würde ich den ersten Teil so circa. auf

{(\frac{1}{3})}^{n}

schätzen, also demnach mit Majorantenkriterium versuchen absolute Konvergenz zu zeigen.

Beim zweiten Teil im Nenner wieder

3^{n}

und im Zähler

n^{2}

am dominantesten.

n^{2}

wird aber langsamer wachsen als

3^{n} \to

wieder

{(\frac{1}{3})}^{n}

so circa, also wieder Ansatz mit Majorantenkriterium versuchen.

Wie sind eure Gedankengänge zu einer solchen geeigneten Kriteriumsfindung? Weil wenn man will kann man ja von beiden Teilen genauso eine falsche Minorante abschätzen, was dann aber falsch wäre, weil mans falsch "gesehen" hat.

HAL9000

22:21 Uhr, 13.02.2020

Dominante Teile identifizieren!

Leider ist dein Term

{\ln (3^{n})}^{2^{n}}

missverständlich: Die einen verstehen darunter

{(\ln (3^{n}))}^{2^{n}}

, die anderen

\ln ((3^{n})^{2^{n}})

(und beide Seiten haben gute Gründe). Es sollte daher erstmal geklärt werden, um welche der beiden Varianten es geht.

MathMP

23:12 Uhr, 13.02.2020

"Dominante Teile identifizieren"

\to

Oke, im Zähler und im Nenner jeweils den Dominantesten? Wie kann man dann weitervorgehen ? Vielleicht durch den dominantesten Teil jeweils Nenner und Zähler teilen (also ausklammern)?

Beim Term handelt es sich um

ln ({(3^{n})}^{2^{n}})

. Entschuldige die nicht eindeutige Darstellung.

HAL9000

06:55 Uhr, 14.02.2020

Dann kann man doch kräftig vereinfachen:

\ln ({(3^{n})}^{2^{n}}) = \ln (3^{n 2^{n}}) = \ln (3) n 2^{n}

.

Dieser Term ist der dominante Term im Zähler, d.h., er wächst schneller als der Betrag des Restes

(- 1)^{n} n^{2} \cos (n!)

, denn für den gilt ja

∣ (- 1)^{n} n^{2} \cos (n!) ∣ \leq n^{2}

.

Im Nenner ist

3^{n}

der dominante Part, es geht also im wesentlichen um das Verhalten von

\frac{\ln (3) n 2^{n}}{3^{n}}

für

n \to \infty

. Und da sieht es so aus, dass hier sogar das Quotientenkriterium greift.

MathMP

11:58 Uhr, 14.02.2020

Ja, aber wenn ich beispielsweise das Qutientenkriterium anwenden will, sollte ich ja den Ausdruck

cos (n!)

und

{(- 1)}^{n}

"wegschätzen". So dass ich auf einen schöneren Ausdruck für das Quotientenkriterium komme.
Genau hier liegt das Problem schätze ich für die Reihe

\sum \frac{ln ({(3^{n})}^{2^{n}}) + {(- 1)}^{n} \cdot n^{2} \cdot cos (n!)}{3^{n} + n}

nun eine Majorante ab oder eine Minorante und wie kann ich das sehen, welche die richtige wäre?

Mein Bedenken ist: ich schätze die Rehe beispielsweise mit einer Minorante ab und wende auf den vereinfachten Ausdruck das Quotientenkriterium an, nun kommt beim Quotientenkriterium aber raus, dass meine Minorante konvergiert. Somit ist das doch falsch. Ich hätte eine Majorante abschätzen sollen?
Muss man das schon vorher sehen ? oder stimmt meine Aussage nicht?
Danke

HAL9000

12:28 Uhr, 14.02.2020

Ich rede hier jetzt überhaupt nicht über Majoranten oder Minoranten, sondern DIREKT über das Quotientenkriterium!!!

Ähnlich wie oben mit dem

1 1^{n}

kannst du hier im Zähler

2^{n}

ausklammern und im Nenner

3^{n}

, das ergibt für das Reihenglied

a_{n} = \frac{2^{n}}{3^{n}} \cdot \frac{\ln (3) n + \frac{(- 1)^{n} n^{2} \cos (n!)}{2^{n}}}{1 + \frac{n}{3^{n}}}

.

Nun zum Quotienten:

\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{\ln (3) (n + 1) + \frac{(- 1)^{n + 1} (n + 1)^{2} \cos ((n + 1)!)}{2^{n + 1}}}{1 + \frac{n + 1}{3^{n + 1}}} \cdot \frac{1 + \frac{n}{3^{n}}}{\ln (3) n + \frac{(- 1)^{n} n^{2} \cos (n!)}{2^{n}}}

Der ganze Kladderadatsch NACH dem

\frac{2}{3}

konvergiert gegen 1, so dass wir Konvergenz laut Quotientenkriterium haben.

MathMP

14:19 Uhr, 14.02.2020

Achso, jetzt verstehe ich. Wir nehmen jeweils vom Zähler und Nenner den am stärksten wachsenden Part, klammern diesen aus und dann fällt das meiste weg, weil

n \to

unendlich geht.
Danke, solch eine Lösungsmöglichkeit hatte ich nicht auf dem Schirm. Ich hab bei Quotientenkriterium immer nur stumpf eingesetzt (ohne am stärksten wachsenden Teil auszuklammern) und dann gekürzt.

Ich hätte noch eine Frage: Es ist ja erlaubt mehrere Kriterien auf eine Reihe anzuwenden, also zb. vorher den Ausdruck mit Majorantenkriterium zu vereinfachen und dann zb. mit Quotientenkriterium zeigen, dass es absolut konvergiert.
Was mache ich aber bei folgenden Fällen:

\to

Man schätzt eine Minorante ab und dann wendet man Quotientenkriterium an und es kommt raus das die Minorante konvergiert. Was bedeutet es dann bzw. was muss man dann machen? Dann haben wir doch einen Widerspruch nicht?

HAL9000

14:36 Uhr, 14.02.2020

> Man schätzt eine Minorante ab und dann wendet man Quotientenkriterium an und es kommt raus das die Minorante konvergiert. Was bedeutet es dann

Es bedeutet, dass man seine Zeit verschwendet hat: Das Abschätzen einer positiven Reihe NACH UNTEN durch eine konvergente Reihe hat die Aussagekraft Null für die Ausgangsreihe - es ist dann nach wie vor alles möglich, Konvergenz wie Divergenz.

Gleiches gilt für die Abschätzung nach oben durch eine divergente Reihe.

MathMP

16:54 Uhr, 14.02.2020

Danke!

Was würdest du bei folgender Reihe machen:

\sum \frac{{(2^{n} \cdot {tan}^{- 1} (3^{n} + cos (n!)) + n^{2})}^{2}}{5^{n} + n^{3} - 1}

1)

am dominantesten im Zähler

4^{n},

im Nenner

5^{n},

also

{(\frac{4}{5})}^{n} \to

vermute Konvergenz.

2)

Majorantenkriterium

\frac{{(2^{n} \cdot {tan}^{- 1} (3^{n} + cos (n!)) + n^{2})}^{2}}{5^{n} + n^{3} - 1} \leq \frac{{(2^{n} \cdot \frac{π}{2} + n^{2})}^{2}}{5^{n} - 1} = \frac{4^{n} \cdot {(\frac{π}{2})}^{2} + 2 \cdot 2^{n} \cdot \frac{π}{2} \cdot n^{2} + n^{4}}{5^{n} - 1} \leq \frac{4^{n} + 4^{n} + 4^{n}}{5^{n} - \frac{1}{2} \cdot 5^{n}} = \frac{3 \cdot 4^{n}}{\frac{1}{2} \cdot 5^{n}} = 6 \cdot {(\frac{4}{5})}^{n}

(4^{n} > 2 \cdot 2^{n} \cdot \frac{π}{2} \cdot n^{2}

für hinreichend große

n)

6 \cdot \sum {(\frac{4}{5})}^{n}

konvergente Majorante, konvergiert auch Ursprungsreihe.

Gäbe es eine einfachere Möglichkeit? Vielleicht wieder mit ausklammern und QK? Oder ist meine die leichteste ?

ledum aktiv_icon

21:52 Uhr, 14.02.2020

Hallo
wie hier, wenn man fast direkt ne Majorane also die

\frac{4}{5}

sieht ist das die schnellste Lösung.
Gruß ledum

MathMP

23:11 Uhr, 14.02.2020

Danke, also stimmt meine Lösung?

Wolframalpha behauptet die Reihe würde divergieren, kennt jemand einen Rechner oder einen Trick mit dem ich mit dem Computer beliebige Reihen überprüfen kann ob sie konvergieren bzw. divergieren? Hab beim googlen leider nichts brauchbares gefunden..

HAL9000

00:13 Uhr, 15.02.2020

> Wolframalpha behauptet die Reihe würde divergieren

Da tippe ich mal eher auf eine Fehleingabe oder -interpretation der Ausgabe.

MathMP

10:20 Uhr, 15.02.2020

Stimmt, habe bei Wolframalpha unrecht gehabt.
Ein Programm, in welchen sogar die einzelnen Kriterien mit Schritten durchgerechnet werden wird es nicht geben, oder?

In der Skizze von Wolframalpha sieht man schön, dass es gegen einen Wert gehen wird, aufgrund der abgeflachten Kurve. Leider aber ohne weitere Informationen dazu, lediglich die Skizze wird angezeigt.

ledum aktiv_icon

18:40 Uhr, 15.02.2020

Hallo
Nein, das müsste ja schon sehr intelligent sein, und nur für 1. Semester, die so sinnfreie Reihen untersuchen müssen.
ledum

MathMP

14:10 Uhr, 16.02.2020

:-D)
Danke für die Hilfe

MathMP

22:52 Uhr, 16.02.2020

Hallo, beim weiteren Üben bin ich auf folgende Reihe gestoßen:

\sum \frac{n + 2 \cdot {tan}^{- 1} (n^{3}) \cdot ln (8^{n} - n)}{π^{n} + n^{2} + | sin (n^{2}) |}

Mein Problem: Ich kann nicht heraussehen, ob diese konvergiert oder divergiert.

2 Fragen:

1)

Könnte ich ohne zu wissen ob sie konvergiert oder divergiert, erstmal ein Majorante abschätzen zum Vereinfachen und dann von der Majorante mit Quotientenkriterium ermitteln ob es sich um abs. Konvergenz handelt.
Falls sich dann mittels Quotientenkriterium herausstellt, dass die Majorante divergiert, würde ich nochmal neu beginnen und dann entsprechend eine einfache Minorante abschätzen und dann von derer die Divergenz mittels Quotientenkriterium zeigen.
Sollte sich aber herausstellen, dass meine Majorante mittels QK konvergiert, wäre ich fertig.
Ist das eine gute Idee, bei solchen Reihen so vorzugehen?

Also mal "blind" eine Majorante abschätzen dann schauen ob es mittels QK konvergiert, wenn nicht dann von neu anfangen und Minorante abschätzen, ansonsten

\to

gelöst.

2)

Gäbe es eine andere Möglichkeit? Direkt das Quotientenkriterium anzuwenden ist doch sehr umständlich, nicht?

Danke

ledum aktiv_icon

23:16 Uhr, 16.02.2020

Hallo

1,

Gedanke

; 3^{n}

schlägt alles also erst mal Bruch>Zähler

/ π^{n}

jetzt den Zähler

{tan}^{- 1} < \frac{π}{2}, ln (8^{n} - n) < ln (9^{n})

ab irgendeinem

n

also insgesamt

n + \frac{π}{2} \cdot n \cdot ln (9) < 5 n

damit

5 \frac{n}{π^{n}} >

dem Bruch also konvergente Dominante.
Bitte neue Aufgaben auch wenn sie zum selben Thema gehören in neuen threads
Gruß ledum

MathMP

23:39 Uhr, 16.02.2020

Danke für den Hinweis,werde das nächste mal einen neue Frage erstellen.

Zu der Aufgabe: Du hast

5 \cdot \frac{n}{π^{n}}

abgeschätzt. Ich hätte gedacht man darf nur mit 2 bekannten Reihen, nämlich der harmonischen und der geometrischen Reihe abschätzen.
Ich kenne nur

: \frac{1}{n^{f}},

mit

f > 1

und

{(q)}^{n},

mit

q < 1

Hatte immer Probleme damit, wenn im Zähler zb. ein

n

war und im Nenner eine beliebige Zahl hoch

n,

also im Zähler und Nenner einmal

x^{n}

und einmal

n^{x}

war, als dominanter Teil (also nichtgleiche Sorte). Weil ja dann genau solch ein Ausdruck wie

5 \cdot \frac{n}{π^{n}}

entsteht. Könntest du mir bitte erklären wieso

5 \cdot \frac{n}{π^{n}}

konvergent ist? Welche Ausdrücke gibt es noch von dieser "Mischsorte" und welche konvergieren bzw. divergieren?
Danke

abakus

00:37 Uhr, 17.02.2020

Erst mal sollte die Bedeutung von

t a n^{- 1} (x)

geklärt werden.
Ist das 1/tan(x) oder (in Taschenrechner-Analogie) die Verballhornung von arctan(x) ?

MathMP

00:50 Uhr, 17.02.2020

arctan(x) hab ich mit

{tan}^{- 1} (x)

gemeint...

anonymous

07:28 Uhr, 17.02.2020

Hallo
Also mit "blindem" Abschätzen kann man glücklich irgendwann an's Ziel kommen. Aber vermutlich willst du ja nicht 27-mal probieren, sondern etwas intelligenter und 'studierter' an's Ziel kommen.

Auch ich habe Fragen:

a)

Du schreibst:

{tan}^{- 1}

(…)
Was genau meinst du damit?
Formal wäre das gleich

\frac{1}{tan (...)}

Sehr häufig verstehen die Teilnehmer aber den
arctan
hier drunter.
Also, um unmissverständlich verstehen zu können: Bitte um Klarstellung.

PS:
Upps, sorry, da waren ja schon eine Menge Beiträge, die mindestens die Frage um arctan schon klärten...

b)

Wir hatten in diesem Thread ja schon mal empfohlen und Übereinkunft gefunden, dass wir uns sinnvoller Weise auf die dominierenden Teile konzentrieren wollten.
Beobachte dich doch mal selbst: Du verlierst zuletzt wieder hunderte Worte, ohne verständlich zu machen, welche Dinge dominieren

>

im Zähler?

>

im Nenner?

b . 2)

Weiter bzgl. Dominanz:
Wenn es dir nicht selbst auffällt, dann der Tipp:
Hilft uns vielleicht eine geschickte Majorante zum Teilausdruck

ln (8^{n} - n)

? Vorschläge?

c)

"Gäbe es eine andere Möglichkeit?"
Ungeschickt "blinde" und glückliche bestimmt sogar mehr als die erwähnten

27

.
"Direkt das Quotientenkriterium anzuwenden ist doch sehr umständlich, nicht?"
Ja.

MathMP

11:12 Uhr, 17.02.2020

Hallo,

zu

b)

Dominanz
Im Zähler:

ln (8^{n} - n)

Im Nenner:

π^{n}

b . 2)

\frac{ln (8^{n} - n)}{π^{n}} \to

Für mich nicht ersichtlich ob es konvergiert oder divergiert, da es sich nicht um die Form

q^{n}

oder

\frac{1}{n^{f}}

handelt.
Wie kann ich solche einen Ausdruck zuordnen?

anonymous

13:04 Uhr, 17.02.2020

Wie soll ich dir helfen, ohne die Lösung zu verraten?
Mit etwas Übung und Erfahrung sieht man eigentlich:

(8^{n} - n)

Na, was soll da das "-n" ??
Bei einigermaßen erheblichen

n

ist

8^{n}

doch eindeutig dominant,
gegenüber dem lächerlich wenigen, das ein

- n

abziehen kann.
Folglich ist

(8^{n} - n) =

ca.

(8^{n})

Und folglich empfiehlt sich die Majorante:

ln (8^{n} - n) =

ca.

ln (8^{n}) = n \cdot ln (8)

Und wiederum folglich ist:
n+2*arctan(n^3)*ln(8^n

- n) =

ca. n+2*arctan(n^3)*n*ln(8) = n*

[

1+2*arctan(n^3)*ln(8)]

Willst du mal weiter machen?

MathMP

14:19 Uhr, 17.02.2020

Das Abschätzen einer Majorante ist nicht mein Problem.
Mein Problem ist aber, wie man überhaupt vom Ausdruck

\frac{ln (8^{n} - n)}{π^{n}}

auf die Idee kommt eine Majorante und keine Minorante abzuschätzen.

Woher weiß ich, dass

\frac{ln (8^{n} - n)}{π^{n}}

konvergiert? Ich könnte ja genausogut eine Minorante von dem Ausdruck abschätzen. Wenn ich

ln (8^{n} - n)

auf auf

8^{n}

abschätze hab ich ja bereits eine Majorante abgeschätzt, aber wie kann ich wissen ob ich überhaupt eine Majorante und keine Minorante brauche?

Ich denke ich habe mich fälschlich ausgedrückt: Das Problem ist nicht das Abschätzen einer Majorante oder einer Minorante aber wie man weiß, dass man eine Majorante oder Minorante abschätzen sollte, ist mein Problem.

Bei den meisten ausdrücken kann ich das sofort sagen, wenn ich mir die Dominanten im Zähler und Nenner jeweils ansehe: Ich zähle jetzt 3 Beispiele auf, dann wird deutlich was ich meine.

1) \frac{n^{2}}{n^{3}}

als dominanteste

\to

sofort ersichtlich, gesamte Ursprungsreihe wird divergieren ich brauche also eine Minorante von der Ursprungsreihe.

2) \frac{3^{n}}{5^{n}}

als dominanteste

\to

auch wieder sofort ersichtlich, wird konvergieren ich brauche also Majorante von Ursprungsreihe.

3) \frac{3^{n}}{n^{2}}

als dominateste

\to

DAS Problem, weil "Mischausdruck", ich kann nicht sagen ob das konvergiert oder nicht, also weiß ich nicht ob ich Majorante oder Minorante brauche.

Gleiche bei "Mischausdruck"

\frac{ln (8^{n} - n)}{π^{n}}

sgt mir auch nichts.

Wie muss man mit diesen "Mischausdrücken" umgehen?

HAL9000

17:21 Uhr, 17.02.2020

Abschätzung

\ln (8^{n} - n) \leq \ln (8^{n}) = n \ln (8)

hat 11engleich ja schon genannt.

Und folgendes Grundwissen sollte man sich zumindest nach ein paar Beispielen angeeignet haben: JEDE Polynomfunktion (und damit speziell auch jede lineare Funktion, wie es

n \ln (8)

eine ist) wächst betragsmäßig langsamer als JEDE Exponentialfunktion

a^{n}

, sofern

∣ a ∣ > 1

, das gilt auch für

a = π

.

Du stellst immer diese stereotypen "woher weiß man..."-Fragen: Übung, Übung, Übung!!! Du kannst jetzt kaum erwarten, dass wir dir die in Jahren bzw. Jahrzehnten angesammelten Erfahrungen in einem kleinen übersichtlichen Regelwerk (welches alle Term-Eventualitäten erfasst) zusammenfassen. Wenn du sowas suchst, dann kannst du ja den diesbezüglichen Quelltext von CAS studieren (es gibt ja da auch ein paar als Freeware, z.B. Maxima) - ich fürchte nur, das wird eher eine langwierige Angelegenheit.

MathMP

17:34 Uhr, 17.02.2020

Danke für die Antwort. Mir ist klar, dass man nicht alle Sonderfälle berücksichtigen kann aber solche "Mischausdrücke" bereiten mir halt Probleme.

Ja ich weiß, dass jede logarithmusnfunktion langsamer als jede Potenzfunktion wächst.

Heißt das etwa, dass man das daran sieht, dass im Zähler etwas steht was schneller wächst als im Nenner und man daraus folgern kann, dass man eine Majorante braucht?

Also

\frac{ln (8^{n})}{π^{n}} \to

ich brauche Majorante der Ursprungsreihe weil

π^{n} > ln (8^{n}),

also Nenner wächst schneller als Zähler?

anonymous

23:43 Uhr, 17.02.2020

"Woher weiß ich, ..."
"aber wie kann ich wissen(,) ob ich überhaupt eine Majorante und keine Minorante brauche?"
Nennen wir es Übung, Überblick, Routine, Eindenkungsvermögen, Fachwissen, Können - und ein bisschen Glück und Probieren gehört nach wie vor sehr oft auch dazu.

Es geht bei der Suche nach den Dominanzen im Wesentlichen darum, aus diesen Dominanzen eine Ahnung zu bekommen - und aus dieser Ahnung heraus wirst du dann zielgerichteter als nur durch 'Probieren' wissen, wie du vorzugehen hast oder erfolgversprechender Ausprobieren kannst.

In dem zuletzt genannten Beispiel konnten wir mit ein wenig geschultem Blick und über die Dominanzen den zunächst komplex aussehenden Ausdruck auf ein simples und übersichtliches

\sum \frac{7,533 \cdot n}{π^{n}}

reduzieren.

Und dem sieht man dann wiederum an:
Die Exponentialfunktion im Nenner dominiert über die lineare Funktion im Zähler.
Also werden wir den dringenden Verdacht haben, dass die Reihe konvergent ist.
Also werden wir diesen Verdacht sinnvollerweise über eine Majorante zu beweisen suchen.

MathMP

14:45 Uhr, 18.02.2020

Danke, ich schätze deine Mühen wirklich sehr.

Ja das klingt jetzt alles für mich logisch.

Wenn ich nun so einen Mischausdruck von Dominanzen hätte wie

\sum (\frac{3^{n}}{n!})

würde ich nun auch auf Konvergenz der Ursprungsruheihe (aus welchen ich diese Dominanzen habe) tippen.

Das

n!

wächst ja viel schneller als

3^{n}

wäre meine Begründung.

Eine weitere Möglichkeit um zu sehen, dass Dominanzen konvergieren oder divergieren ist mir für Mitleser, welche auch damit Probleme haben, noch eingefallen.

Wenn man für die isolierten Dominanzen das Qoutientenkriterium anwendet (geht schnell) sieht man ja was die Dominanzen machen, also ob konvergernt oder divergent. Somit gut begründeter Verdacht Majorante oder Minorante abzuschätzen.

Beispiel mit Dominanzen von

\frac{3^{n}}{n!}

Quotientenkriterium anwenden

\frac{\frac{3^{n + 1}}{(n + 1)!}}{\frac{3^{n}}{n!}} = \frac{3}{n + 1} \to 0

0 < 1 \to

konvergent, sprich ich schätze für Ursprungsreihe Majorante ab, weil die Dominanzen konvergieren und die Dominanzen nunmal das Verhalten der Gesamtreihe bestimmen..

Was halten die Profis von dieser Taktik, wenn man als Anfänger mit "sehen" Probleme hat?

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15:02 Uhr, 18.02.2020

Das Quotientenkriterium ist hier das Mittel der Wahl, wie du ja selber
gezeigt hast.

Der Summenwert ist

e^{3}

.
Es gilt:

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n!} = e

anonymous

17:43 Uhr, 18.02.2020

Hallo
"ich schätze für Ursprungsreihe Majorante ab, weil die Dominanzen konvergieren und die Dominanzen nun mal das Verhalten der Gesamtreihe bestimmen."
Ich ahne, was du sagen willst und stimme überwiegend zu.

Zu Bedenken will ich geben, dass du dir schon bewußt bleiben solltest, und für Arbeiten verständlich machen solltest

>

was Vermutung

>

und was Beweisführung
ist.
Die Vermutungen dienen einfach dazu, dich schnell auf das richtige Gleis in die richtige Richtung zu stellen, deine Ahnungen und Intuitionen auf die Dinge zu konzentrieren, die dann mit Erfolgsaussichten auch zum Ziel führen.

Die Beweisführung dagegen ist dann schon auch formal noch ein wenig anspruchsvoller.
Dein Schulbeispiel mit diesem

ln (8^{n} - n)

war ja noch übungshaft so aufgestellt, dass eine Majorante leicht zu finden war.
Wir fanden

ln (8^{n}) = n \cdot ln (8)

als Majorante für dieses

ln (8^{n} - n)

.

Bedenke:
Wäre die Aufgabe nur ein klein wenig anders gestellt gewesen, und hätte der entsprechende Ausdruck

ln (8^{n} + n)

geheißen,

>

dann sagt mir und uns die Intuition sehr schnell, dass auch das konvergent wäre,

>

nur die Suche der Majorante zur Beweisführung ist dann nicht mehr ganz so augenfällig, sondern schon ein klein wenig verzwickter.

MathMP

22:37 Uhr, 18.02.2020

Danke für die Hilfe!

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