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Konvergenzintervall berechnen !?

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Tags: Konvergenzintervall, Konvergenzraidus, Potenzreihe, Reihen

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18:21 Uhr, 11.04.2010

Hallo,

ich habe versucht den Konvergenzradius zu berechnen. Hat leider nicht geklappt :(

Hier ist die Aufgabe: $\sum_{k = 0} \frac{k²}{5^{k}} {(x - 3)}^{k}$ von 0=> unendlich. Die Lösung = (-2|8)

Ich wollte das Quotientenkriterium anwenden. mein ${}^{a}k$ = $\frac{k²}{5^{k}}$ ,aber was ist dann ${}^{a}{k + 1}$ ???

Ich habs noch nicht verstanden...

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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18:28 Uhr, 11.04.2010

a_{k} = \frac{k^{2}}{5^{k}} \to r = lim_{k \to \infty} \frac{1}{{\sqrt[k]{a}}_{k}} = 5

| x - 3 | < 5 \Leftrightarrow - 5 < x - 3 < 5 \Leftrightarrow - 2 < x < 8

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18:38 Uhr, 11.04.2010

du hast also das wurzelkrizterium verwendet. warum??

funktioniert immer nur 1 von beiden?

und wie bist du auf die 5 gekommen?

$\lim_{k \to \infty} \frac{1}{\sqrt[k]{\frac{k²}{5^{k}}}}$ es sollte ja dann so aussehen...

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18:44 Uhr, 11.04.2010

hmm

\frac{1}{\frac{1}{5}} = 5 \to

wegen

lim_{k \to \infty} \sqrt[k]{k} = 1

und

lim_{k \to \infty} \sqrt[k]{5^{k}} = 5

a_{k + 1} = \frac{{(k + 1)}^{2}}{5^{k + 1}} \to lim_{k \to \infty} \frac{k^{2}}{5^{k}} \cdot \frac{5^{k + 1}}{{(k + 1)}^{2}} = lim_{n \to \infty} 5 \cdot \frac{k^{2}}{{(k + 1)}^{2}} = lim_{n \to \infty} 5 \cdot {(\frac{k}{k + 1})}^{2} = lim_{n \to \infty} 5 \cdot {(\frac{k + 1 - 1}{k + 1})}^{2} = lim_{n \to \infty} 5 \cdot {(1 + \frac{- 1}{k + 1})}^{2} = 5

mathetim aktiv_icon

19:01 Uhr, 11.04.2010

wenn dann müsste es ja heissen : $\sqrt[k]{k²}$ und warum wäre das =1 ??

ausserdem hab ich den teil beim quotientenkriterium nicht verstanden:

du sagst dass $\frac{k}{k + 1}$ das selbe ist wie $\frac{k + 1 - 1}{k + 1}$ (weil die beiden einsen heben sich auf) warum verschwindet das "k" dann aber?

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19:05 Uhr, 11.04.2010

also

k^{2} = k \cdot k

und

{\sqrt[k]{k}}^{2} = \sqrt[k]{k} \cdot \sqrt[k]{k} \to

im Allgemein für ein festes

t

ist

lim_{k \to \infty} \sqrt[k]{k^{t}} = 1

\frac{k + 1 - 1}{k + 1} = \frac{k + 1}{k + 1} - \frac{1}{k + 1} = 1 - \frac{1}{k + 1}

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19:07 Uhr, 11.04.2010

krass, du gehst ja ab :)

jetzt hab ichs auch verstanden ^^

danke!

mathetim aktiv_icon

12:58 Uhr, 20.06.2010

Hallo,

ich habe noch 3 weitere Intervalle auch die ich nicht komme. Lösungen habe ich aber der Rechenweg fehlt mir:

1) $x^{k}$ => mit dem wurzelkriterium komme ich nicht auf $\frac{1}{1 - x}$

2) $\frac{x^{k}}{k}$ ?

3) $\frac{x^{k}}{k^{2}}$ ?

thx !!

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