Konvergenzradius

Die Aufgabenstellung lautet:

Entwickeln Sie die Funktion f(x)=arctan x an der Stelle 0 in eine

Taylorreihe und bestimmen Sie den Konvergenzradius!

(arctan x)' = ${\displaystyle \frac{1}{1+\mathrm{x²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$

bzw. arctan x = ${\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\frac{1}{1+\mathrm{t²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

Ich habe meine Taylorreihe entwickelt und komme zu dem Ergebnis

arctan x= ${\displaystyle \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\frac{{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^3}{3}+\frac{{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^5}{5}-\frac{{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^7}{7}+\frac{{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^9}{9}-+\mathrm{...}}$

Nun würde ich gerne den Konvergenzradius mit der Formel

${\displaystyle \mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\underset{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\to \mathrm{\infty <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{lim<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\lceil \frac{{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}{{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1}}\rceil }$ bestimmen.

Dabei habe ich ein generelles Verständnisproblem.

Ich denke ich benötige zuerst das Bildungsgesetz dieser Reihe, dass ich

in weiterer Folge als ${\displaystyle {\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ verwenden kann.

Bin mir nicht sicher.

Kann mir jemand bitte erklären wie ich den Konvergenzradius mit der Formel

bestimmen kann. Was ich dabei für ${\displaystyle {\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ einsetzen muss und wie ich auf ${\displaystyle {\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$

komme.

Danke

Ich habe auch nachgeschlagen und der Konvergenzradius von arctan ist 1.

Aber mein Problem liegt leider an der Herleitung.

Ich würde das gerne selbst berechen und die Formel für den Konvergenzradius auch bei anderen Beispiele anwenden.

Für das Bildungsgesetz habe ich ${\displaystyle \sum _{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=0}^{\mathrm{\infty <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\frac{{(-1)}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}{2\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1}}$ gefunden.

Nur warum heißt es 2n+1.

Wenn ich den Gliedern n zuordne habe ich 2n-1.

Startwert?

Ehrlich gesagt, weiß ich nicht wie dieser mein Ergebnis beeinflusst.

Da ich von einem Glied zum Folgeglied immer 2n-1 habe.

Unabhängig von welchem Punkt der Reihe.

Aber ich habe beides jetzt durchgerechtet und erhalte mit 2n-1 und mit 2n+1

genau den Betrag von -1 als Ergebnis.

Also 1.

Führt anscheinend beides zum richtigen Resultat.

Du meintest den Startwert für n oder?

Hab dich im ersten Augenblick etwas mißverstanden.

Abhängig davon ob ich meine Reihe mit n=0 oder n=1 beginne?

Ich nehme an, wenn ich diesbezüglich keine Angabe habe sollte ich mit 0 beginnen.

Danke