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Konvergenzradius Fakultät

Universität / Fachhochschule

Tags: Fakultät, Konvergenz, Konvergenzradius

Connor1 aktiv_icon

07:35 Uhr, 01.03.2018

Hallo zusammen,

ich rechne gerade an einer Aufgabe zur Konvergenz von Reihen.
Die Aufgabe ist im Anhang.

Ich wollte fragen, ob mein Rechenweg so richtig ist.

\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{k^{2} k!}{(2 k)!}

Konvergenzradius mit

R = lim_{n \to \infty} | \frac{a_{n}}{a_{n + 1}} |

= lim_{n \to \infty} \frac{k^{2} k!}{(2 k)!} \cdot \frac{(2 (k + 1))!}{{(k + 1)}^{2} (k + 1)!}

= lim_{n \to \infty} \frac{k^{2} k!}{(2 k)!} \cdot \frac{(2 k)! \cdot (2 k + 1) \cdot (2 k + 2)}{{(k + 1)}^{2} k! \cdot (k + 1)}

= lim_{n \to \infty} \frac{(2 k + 1) (2 k + 2)}{k + 1} = \infty

Ist der Konvergenzradius hier von

- \infty

bis

+ \infty

?

Ich bin für jede Antwort dankbar :-)

Gruß
Connor

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Connor1 aktiv_icon

07:37 Uhr, 01.03.2018

Wenn man jeweils 1 mal

k

ausklammert hat man dann doch im Zähler

k

stehen und der Nenner geht für

n \to \infty

gegen 1.

Respon

08:30 Uhr, 01.03.2018

Die Indexbezeichnung ist

k

.
Was ist mit

k^{2}

bzw.

{(k + 1)}^{2}

geschehen ?

Connor1 aktiv_icon

05:47 Uhr, 02.03.2018

Ich dachte bei

{(k + 1)}^{2} = k^{2} + 2 k + 1

kann man

k^{2}

ausklammern und dann kürzt sich ja

k^{2}

raus. das in der klammer konvergiert ja dann gegen 1 oder nicht.

kann man dann also

{(k + 1)}^{2}

und

k^{2}

nicht einfach rauskürzen?

Respon

06:39 Uhr, 02.03.2018

Solange vor deinem Term

l i m

steht konvergiert noch gar nichts, du hast also den Grenzwert noch nicht gebildet.

Connor1 aktiv_icon

06:57 Uhr, 02.03.2018

also wenn ich

k^{2}

ausklammere und

(1 + \frac{2}{k} + \frac{1}{k^{2}}) k

gegen unendlich laufen lasse bleibt doch 1 übrig. darf ich also nicht einfach

k^{2}

und

{(k + 1)}^{2}

kürzen?

Respon

07:00 Uhr, 02.03.2018

Natürlich kannst du durch

k^{2}

kürzen, im Term bleibt nach dem

l i m

aber trotzdem

1 + \frac{2}{k} + \frac{1}{k^{2}}

übrig.

Connor1 aktiv_icon

07:03 Uhr, 02.03.2018

achso das muss ich dann trotzdem noch aufschreiben.
ist der konvergenzradius trotzdem von

- \infty

bis

+ \infty

? also über die ganzen reelen zahlen?

Respon

07:06 Uhr, 02.03.2018

Nenne es einen "formalen Fehler", auch das "

n

" wäre mathematisch falsch.
Zur Überprüfung kannst du ja "Wolfram" verwenden.

Connor1 aktiv_icon

07:11 Uhr, 02.03.2018

okay vielen dank.

wolfram zeigt mir das die reihe nicht konvergiert..

Respon

07:12 Uhr, 02.03.2018

www.wolframalpha.com/input/?i=sum+(k%5E2*k!*x%5Ek)%2F((2*k)!),k%3D0+to+infinity

Connor1 aktiv_icon

07:17 Uhr, 02.03.2018

oh da hab ich eine falsche seite verwendet.

ich kenne mich mit wolfram nicht so gut

www.wolframalpha.com/input/?i=sum+(k%5E2+k!+x%5Ek)%5C(2k)!

wo sehe ich hier denn den konvergenzradius?

Respon

07:27 Uhr, 02.03.2018

Wenn Wolfram "

x

" nicht erwähnt, dann gibt es dafür keine Einschränkung.
Ansonsten ist die Notation

z . B

| x | < 1

oder ähnlich.

Connor1 aktiv_icon

07:31 Uhr, 02.03.2018

Ah okay.

vielen vielen dank!! :-)

ich hätte noch eine frage zu einer etwas "schwierigeren" aufgabe.
aber dafür werde ich später dann einen neuen thread aufmachen.

nochmals vielen dank!

gruß
connor

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