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Konvergenzradius Laurentreihe von sqrt(z^2+1)
Universität / Fachhochschule
Komplexe Analysis
Tags: Komplexe Analysis, Konvergenzradius
 
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Ich weiss gerade nicht wie ich an folgendes Problem herangehen muss: Ich suche alle für welche die Reihe von noch konvergiert.. Der Assistent hat mir erzählt, dass die Funktion Singularitäten bei hat. Wieso ist dies so? Die Funktion ist doch in 0 definiert: . Er hat auch noch etwas von einem Schnitt gesagt, der entlang der imaginären Achse sein soll... Ich verstehe aber nicht, wieso der Schnitt nicht entlang der negativen reellen Achse ist... Die Lösung der Aufgabe ist übrigens Aber wie ich darauf komme, verstehe ich leider nicht... Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Wie sieht denn konkret "die Reihe von " aus und um welchen Entwicklungspunkt geht es? |
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Sorry, das hab ich vergessen zu erwähnen. Es geht um die Entwicklung um . Die gestellte Frage ist: "Wie gross darf sein, damit die Reihe noch konvergiert?" |
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Schön. Bleibt nur noch die Frage, wie denn die Reihenentwicklung um z=0 konkret aussieht? Wenn du die hast, gibt es dann so eine Formel für den Konvergenzradius. |
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Hallo, die Taylorentwicklung von um herum ist recht mühsam, da man die Gesetzmäßigkeit der Koeffizienten eher nicht durchschaut. Aber du könntest dir mit der Binoamialreihe für eine schöne Potenzreihe verschaffen und in dieser einsetzen. Gruß ermanus |
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Hallo, hier ein paar Erläuterungen zu dem, was dir der Assistent erzählt hat: warum ist eine Singularität für ? Klar: ist kein Pol, sondern liefert den "anständigen" Wert . Aber: ist in nicht einmal reell differenzierbar (senkrechte Tangente). Also kann man zu in keine Taylorentwicklung machen. Die Funktion ist dort nicht "analytisch" ( = "holomorph"). In diesem Sinne ist eine Singularität, obwohl kein Pol und auch keine "wesentliche" Singularität vorliegt. Hier haben wir einen "Verzweigungspunkt" der Wurzelfunktion vor uns. Was dies bedeutet, kann man eigentlich erst verstehen, wenn man ein bisschen mehr über Riemannsche Flächen weiß. Eine komplexe Potenzreihe ist soweit konvergent, wie sie nicht an ein "Hindernis" stößt. Die Hindernisse sind die Singularitäten. In unserem Falle sind das die -Werte, in denen der Radikand wird, also die Punkte . Entwickelt man nun um herum in eine Potenzreihe, so kann der Konvergenzkreis nicht über diese beiden Singularitäten hinaus, d.h. der Konvergenzradius ist . Ich nehme an, dass es das war, was der Assistent dir mitteilen wollte. Gruß ermanus |
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Nun ist alles klar! Vielen Dank für die Antworten. |
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