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Konvergenzradius: MacLaurin-Reihe

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19:39 Uhr, 27.11.2020

ich hoffe, ich muss nicht die ganze Aufgabe abtippen...

|ck /(ck+1)|

= | \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot ... \cdot (2 k - 3) \cdot 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 \cdot ... \cdot 2 k \cdot 2 \cdot (k + 1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 \cdot ... \cdot 2 k \cdot 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot ... \cdot (2 k - 3) \cdot (2 k - 1)} | = | (\frac{2 (k + 1)}{2 k - 1}) | = | \frac{2 k + 2}{2 k - 1} |

Vorher wurden die Koeffizienten der Mac-Laurin-Rehe berechnet.

1 + \frac{1}{2} x - \frac{1}{2 \cdot 4} \cdot x^{2} + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4 \cdot 6} \cdot x^{3} - + . .

.

Jetzt meine Frage:

Muss ich das aus diesem "Zahlensalat" ersehen, dass da

| (\frac{2 (k + 1)}{2 k - 1}) |

zu bilden ist? Oder gibt es ein "Kochrezept"?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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19:47 Uhr, 27.11.2020

Sind also die Koeffizienten

c_{k} = \frac{k!!}{(2 k)!!}

?
(Hier die Definition www.mathematik.net/fakultaten/fa2s10.htm
Oder wie sind sie definiert?

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19:55 Uhr, 27.11.2020

Die Aufgabe im Buch ist:

Untersuchen Sie, für welche Werte von

x

die ML-Reihe der Funktion

f (x) = {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}

konvergiert, und bestimmen Sie die ersten vier Glieder dieser Reihe.

Ich habe ja nur einen Teil der Lösung reingestellt, halt da wo es schon "klemmt"...

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20:18 Uhr, 27.11.2020

Die Information wäre natürlich besser sofort zu geben. Denn sonst ist nicht klar, was die Formel der Koeffizienten ist.
Also die sind

c_{1} = \frac{1}{2}

c_{2} = - \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{1}{2!}

c_{3} = \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{3}{2} \frac{1}{3!}

c_{4} = - \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{3}{2} \frac{5}{2} \frac{1}{4!}

usw.
Das ergibt für

n \geq 2

die Formel

c_{n} = (- 1)^{n - 1} \frac{(2 n - 3)!!}{2^{n} n!}

.
Um diese Formel zu bekommen, ist es wichtig zu erkennen, wie sich Koeffizienten von einem Index zu dem anderen ändern.

Damit

\frac{c_{k}}{c_{k + 1}} = - \frac{(2 n - 3)!!}{2^{n} n!} \frac{2^{n + 1} (n + 1)!}{(2 n - 1)!!} = - \frac{2 (n + 1)}{2 n - 1}

, denn für Doppelfakultäten gilt

(2 n - 1)!! = (2 n - 3)!! (2 n - 1)

, wie es direkt aus der Definition ersichtlich ist.

HAL9000

20:19 Uhr, 27.11.2020

Nach Binomischen Satz ist für

k \geq 2

wohl eher

c_{k} = (\begin{array}{c} \frac{1}{2} \\ k \end{array}) = \frac{1}{k!} \cdot \prod_{m = 0}^{k - 1} (\frac{1}{2} - m) = \frac{{(- 1)}^{k - 1}}{2^{k} k!} \cdot \prod_{m = 1}^{k - 1} (2 m - 1) = {(- 1)}^{k - 1} \cdot \frac{(2 k - 3)!!}{(2 k)!!}

.

EDIT: Upps, eine Minute zu spät.

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20:20 Uhr, 27.11.2020

Das ist dieselbe Formel, denn

(2 n)!! = 2^{n} n!

HAL9000

20:22 Uhr, 27.11.2020

Das "wohl eher" bezog sich natürlich auf deine obige erstgenannte Vermutung

c_{k} \overset{?}{=} \frac{k!!}{(2 k)!!}

. :-)

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20:38 Uhr, 27.11.2020

Sorry, dass ich nicht alles reingestellt habe aber die Antwort im Buch war, jetzt wo ich eure Antworten sehe sehr knapp gehalten...Ok, man merkt dann auch, dass ich es auch nicht nur ein wenig nicht verstanden habe sondern gar nicht...

Wenn das die Lösung ist, wird das bei mir auch nichts, da fehlt es bei mir an mathematischen Verständnis

: (

Der Anfang der Aufgabe ist ok…einfach dreimal Ableiten…“Lauf Forrest, Lauf“ das bekomme ich hin ;-)
Aber der Rest? Im Leben nicht...

Danke für die investierte Zeit...

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21:03 Uhr, 27.11.2020

Was denn genau findest du schwierig?
Ich glaube fest, dass solche Aufgaben für dich grundsätzlich machbar sind.
Du brauchst nur etwas mehr Erfahrung, aber die kommt mit der Zeit.

PZT2020 aktiv_icon

08:17 Uhr, 28.11.2020

Danke für die motivierenden Worte, leider drängt die Zeit etwas meine Aufgaben werden zum

3.12

. geschlossen. Ich bin bei

17 %

gelöster Aufgaben.
Wir benötigen für die Zulassung zur Prüfung

30 %

. Es kommt allerdings noch ein Block über Weihnachten zusammen müssen es dann

30 %

sein (Noten gibt es keine).

Ich sag es mal so, ich habe mich im Bachelor vor Potenzreihe gedrückt, zum Bestehen von Mathe 1 war das auch nicht nötig man hat ausreichend Punkte in der Klausur durch andere Themen bekommen können. Wollte mich halt jetzt doch noch mal ran wage und gucken ob ich es verstehe.
Zwei Aufgaben konnte ich ja auch lösen stumpf McL-Reihe anwenden und gut

Ich weiß was die Fakultät ist ich entdecke halt überhaupt keine Gemeinsamkeiten zwischen den Gliedern, ich kann da nichts erkennen bei nen „billigen“ IQ-Test versage ich da schon… Und in so nen Test sind ja meistens nur die Glieder durch die gleich Zahl geteilt oder dies von dem Abgezogen usw…

Ich habe in Statistik im Bachelor eine

1,7

geschrieben aber verstanden habe ich nur wie man die „Kochrezepte“ anwendet, anhand der Fragestellungen welchen Test ich

z . B

. benutzen musste oder um welche Verteilungen es einfach ging…

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09:42 Uhr, 28.11.2020

Das wirst du schon mit unserer Hilfe schaffen. Nicht den Kopf hängen lassen. ;-)

PZT2020 aktiv_icon

10:04 Uhr, 28.11.2020

Danke :-)

So sieht das Aufgabenpaket aus, im Grunde kann man mit der Altklausur alles rausreißen wenn man die zu

100 %

schafft…

Roman-22

21:02 Uhr, 28.11.2020

>

Muss ich das aus diesem "Zahlensalat" ersehen, dass da |(2(k+1)2k−1)| zu bilden ist?
Ging es bei deiner Frage nur darum, wie man hier vom ersten auf den zweiten Term kommt?

Dann schau dir dir farbig unterlegten Teilausdrücke an und denk ans kürzen ;-)

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