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Konvergenzradius, Potenzreihe

Universität / Fachhochschule

Komplexe Analysis

Tags: Komplexe Analysis, Konvergenzradius, Potenzreihe

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13:56 Uhr, 17.04.2024

Hey, ich habe gerade Probleme bei folgenden zwei Aufgaben:

1)Bestimme den Konvergenzradius von

\sum_{n = 0}^{\infty} z^{n!}

Lösungsidee: Den Konvergenzradius für

f (z) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} (z - z_{0})^{n}

mit

z_{0}, a_{n} \in ℂ

müssen wir uns den Limes Superior anschauen.

Also erstmal umformen:

\sum_{n = 0}^{\infty} z^{n!} = \sum_{n = 0}^{\infty} z^{(n - 1)!} * (z - 0)^{n}

Jetzt gilt für

l i m s u p_{n - > \infty} \sqrt[n]{∣ z^{(n - 1)!} ∣}

= 0

für

∣ z ∣ < 1

= 1

für

∣ z ∣ = 1

= \infty

für

∣ z ∣ > 1

Normal ist der Konvergenzradius:

\frac{1}{l i m s u p_{n - > \infty} \sqrt[n]{∣ z^{(n - 1)!} ∣}}

Das ergibt jedoch für verschiedene

z

verschiedene Werte.

Wo genau liegt mein Fehler oder was muss ich anders machen? Da die Folge für

∣ z ∣ \leq 1

konvergiert. Ist dann

1

unser Konvergenzradius?

2)Wir haben

(f_{n})_{n \in ℤ_{\geq 0}}

als die Folge der Fibonacci Zahlen definiert und die Formel von Moivre-Binet(Wikipedia) bewiesen.
Für die Potenzreihe

p (z) = \sum_{n = 0}^{\infty} f_{n} z^{n}

ist der Konvergenzradius

\frac{1}{Φ}

mit

Φ = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}

Jetzt soll ich zeigen, dass

p (z) = \frac{z}{1 - z - z^{2}}

für alle

z \in U_{\frac{1}{Φ}} (0)

gilt.
Ich habe leider keine Ahnung, wie ich vorgehen soll. Ich weiß nur, dass

Φ

eine Nullstelle des Polynoms im Nenner ist.

Ich würde mich über Hilfe freuen,

Felix

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

HAL9000

14:04 Uhr, 17.04.2024

Zu 1) Das

z

hat im Koeffizienten nix zu suchen - du verwurstelst das aber leider mit in deine Betrachtungen. :(

Also mal Klartext: Es ist

\sum_{n = 0}^{\infty} z^{n!} = \sum_{k = 0}^{\infty} a_{k} {(z - z_{0})}^{k}

mit

z_{0} = 0

sowie

a_{k} = {\begin{array}{ll} 1 & falls ein n existiert mit k = n! \\ 0 & sonst \end{array}

Und davon nimmst du den Limes Superior!!!

Bei 2) kannst du nutzen, dass die Potenzreihe im Innern des Konvergenzkreises absolut konvergent und damit beliebig umordenbar ist: