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Konvergenzradius Potenzreihe Binomialkoeffizient

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen

taxus1 aktiv_icon

19:39 Uhr, 14.01.2018

Hallo,
ich möchte den Konvergenzradius der folgenden Potenzreihe berechnen:

P (z) = \sum_{n = 0}^{\infty} (\begin{matrix} 4 n \\ n \end{matrix}) z^{n}

Meine Ansatz bisher war das Quotientenkriterium, was allerdings

lim n \to \infty (\begin{matrix} 4 (n + 1) \\ n + 1 \end{matrix}) : (\begin{matrix} 4 n \\ n \end{matrix}) \cdot z = \frac{(4 n + 1) \cdot ... \cdot (4 n + 4)}{(3 n + 1) \cdot ... \cdot (3 n + 3)} \cdot z

liefert: ein Polynom 4ten Grades über dem Bruchstrich, eins 3ten Grades darunter

\to

egal, welches

z,

das ganze divergiert oder?
Laut Wolframalpha liefert allerdings das Cauchy-Hadamard-Kriterium mit

L = {((\begin{matrix} 4 n \\ n \end{matrix}))}^{\frac{1}{n}}

den Konvergenzradius

\frac{256}{27}

.

Frage 1: Wo ist mein Fehler im Quotientenkriterium
Frage2: Wie mache ich das mit Cauchy-Hadamard, sprich wie berechne ich den Grenzwert der n-ten Wurzel von

(4 n, n)

Wäre dankbar für jedwede Hilfe!

ledum aktiv_icon

15:56 Uhr, 15.01.2018

Hallo
du hat bei

\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}

ein

(n + 1)

im Nenner vergessen!
Gruß ledum

taxus1 aktiv_icon

18:25 Uhr, 15.01.2018

ok das stimmt, damit wäre Frage 1 geklärt - vielen Dank!
Wenn ich das jetzt allerdings mit Cauchy-Hadamard machen würde, wie müsste ich vorgehen, um den Grenzwert

lim n \to \infty {(| (\begin{matrix} 4 n \\ n \end{matrix}) |)}^{\frac{1}{n}}

zu bestimmen?

Soweit war ich bis jezt:

\frac{{(4 n!)}^{\frac{1}{n}}}{{(n!)}^{\frac{1}{n}} \cdot {(3 n!)}^{\frac{1}{n}}}

. Allerdings sind die Grenzwerte für

{(n!)}^{\frac{1}{n}}

und damit auch für Zähler und Nenner

\infty,

sodass ich da irgendwie nicht weiterkomme.
Viele Grüße taxus1

ledum aktiv_icon

22:42 Uhr, 15.01.2018

Hallo
Cauchy-Hadamard ist hier einfach ungeeignet, wenn dan braucht man Näherungsformel

f

bzw assymptotische formeln für

n!

die sind als Stirlingsformeln bekannt, und Wolfram benutzt sie wohl, du brauchst sie ja aber nicht.
Gruß ledum

taxus1 aktiv_icon

17:45 Uhr, 16.01.2018

Ok, vielen Dank für die Hilfe!

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