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Konvergenzradius bestimmen

Universität / Fachhochschule

Funktionentheorie

Tags: Funktionentheorie

Jenny421 aktiv_icon

09:48 Uhr, 14.12.2020

Die Aufgabe lautet: Bestimme die Konvergenzradien folgender Potenzreihen:

a) \sum_{n = 0}^{\infty} 2^{- n^{2}} z^{n}

b) \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n!}{n^{n}} z^{n}

c) \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{log (n)}{n^{2}} z^{n^{2}}

Bei dem ersten habe ich raus, dass der Konvergenzradius

R = 0

ist.

Bei

b

habe ich es über das Quotientenkriterium probiert.
Es ist

\frac{(n + 1)!}{n!} \cdot \frac{n^{n}}{{(n + 1)}^{n}} = (n + 1) \cdot \frac{n^{n}}{{(n + 1)}^{n}}

Nun muss ich mir davon ja den Grenzwert anschauen. Also

lim_{n \to \infty} (n + 1) \cdot \frac{n^{n}}{{(n + 1)}^{n}}

. Da würde ich ja auf

\infty

kommen. Also wäre der Konvergenzradius

R = 0

. Aber in de Lösungen steht drin, dass

R = e

ist. Sieht jemand meinen Fehler?

Bei

c)

habe ich leider keinen Ansatzpunkt.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

09:59 Uhr, 14.12.2020

In a und b ist der Radius unendlich. Achte darauf, dass du das Quotientenkriterium richtig anwendest.

DrBoogie aktiv_icon

10:00 Uhr, 14.12.2020

In c kannst du nutzen, dass

\log (n) = 0.5 \log (n^{2})

und dann z.B.

k

für

n^{2}

substituieren.

Jenny421 aktiv_icon

10:31 Uhr, 14.12.2020

b)

habe ich glaube meinen Fehler gefunden. Und zwar lautet es:

\frac{(n + 1)!}{{(n + 1)}^{n + 1}} \cdot \frac{n^{n}}{n!}

. Ich habe glaube ich eine 1 im Nenner vergessen. Damit müsste ich dann weiterrechnen können, oder?

HAL9000

10:34 Uhr, 14.12.2020

Ich muss DrBoogie widersprechen: Der Konvergenzradius bei b) ist nicht unendlich, sondern

e

DrBoogie aktiv_icon

10:35 Uhr, 14.12.2020

Ja, damit geht es weiter.
Ich hatte übrigens Unrecht, in diesem Fall ist Radius

= e

. Das sieht man auch, wenn man die Stirling-Formel nutzt:

n! \sim (n / e)^{n} \cdot \sqrt{2 π n}

Jenny421 aktiv_icon

10:39 Uhr, 14.12.2020

a und

b

habe ich nun raus. Bei a hatte ich mich verschrieben. Da war der Grenzwert natürlich 0 und nicht der Konvergenzradius. Dann versuche ich mich jetzt mal an

c)

mit deinem Hinweis.

Jenny421 aktiv_icon

11:36 Uhr, 14.12.2020

Könntest du mir noch einen Hinweis geben, wie ich dann weiter machen muss bzw. was mir diese Substitution bringt? Ich habe gedacht, dass man es irgendwie abschätzen kann. Bin bisher aber nicht wirklich weiter gekommen.

DrBoogie aktiv_icon

11:42 Uhr, 14.12.2020

Du hast die Reihe

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{\log (n)}{n^{2}} z^{n^{2}}

, die wird zu der Reihe

\sum_{k \in {1, 4, 9, . . .}} \frac{0.5 \log (k)}{k} z^{k}

.
Dass

k

nicht über alle natürlichen Indizes laufen, ist kein Problem, denn für die Radiusbestimmung braucht man sowieso nur

limsup

von

\sqrt[n]{∣ a_{n} ∣}

zu bestimmen.
Und dieses

limsup

ist offensichtlich

1

, denn

\sqrt[n]{n} \to 1

und auch

\sqrt[n]{\log (n)} \to 1

.
Also ist Radius

1

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