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Konvergenzradius der binomischen Reihe (R≥1)

Universität / Fachhochschule

Funktionalanalysis

Tags: Funktionalanalysis

Euler03 aktiv_icon

13:56 Uhr, 13.03.2024

Sei

α \in ℂ \ {0}

und definiere die binomischen Koeffizienten wie folgt:

(\begin{array}{l} α \\ 0 \end{array}) := 1 (\begin{array}{l} α \\ k \end{array}) := \prod_{n = 0}^{k - 1} \frac{α - n}{n + 1}

Zeige, dass für den Konvergenzradius

R

der binomischen Reihe

B_{α} (z) := \sum_{k = 0}^{\infty} (\begin{array}{l} α \\ k \end{array}) z^{k}

gilt

R \geq 1

.

So ganz komme ich mit gegebener Aufgabe noch nicht zurecht - Meine Idee war es jetzt dies Quotientenkriterium zu verwenden:

∣ \frac{C (α, k + 1) z^{k + 1}}{C (α, k) z^{k}} ∣ = ∣ \frac{C (α, k + 1)}{C (α, k)} ∣ \cdot ∣ z ∣

Unter Verwendung der gegebenen Definition des Binomialkoeffizienten:

∣ \frac{C (α, k + 1)}{C (α, k)} ∣ = ∣ \frac{α - k}{k + 1} ∣

Verhältnis des (k+1)-ten Glieds zum k-ten Glied:

∣ \frac{α - k}{k + 1} ∣ \cdot ∣ z ∣

Wenn ich jetzt den Logarithmus und seine Monotonie verwende, müsse ich doch den Limes folgendermaßen berechnen können:

lim_{k \to \infty} \log ∣ \frac{α - k}{k + 1} ∣ + \log ∣ z ∣

Stimmt meine Idee soweit? - Wenn ja, wie kann ich jetzt fertig argumentieren das

R \geq 1

gilt?

LG Euler

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Randolph Esser aktiv_icon

17:06 Uhr, 13.03.2024

Aus

| \frac{(\begin{matrix} α \\ k + 1 \end{matrix}) z^{k + 1}}{(\begin{matrix} α \\ k \end{matrix}) z^{k}} | = | z | \frac{| α - k |}{k + 1} \to | z | (k \to \infty)

folgt, dass die Reihe für alle

z

mit

| z | < 1

absolut konvergent ist (Quotienten-Kriterium).

Somit ist der Konvergenzradius schon

\geq 1

HAL9000

11:19 Uhr, 14.03.2024

Anmerkung: Man spricht hier nur deshalb so vorsichtig von

R \geq 1

, weil für

α \in ℕ_{0}

ja sogar

R = \infty

gilt. Für alle anderen

α \in ℂ \ ℕ_{0}

gilt sogar exakt

R = 1

.

Und mit Quotientenkriterium sollte man im erwähnten Fall

α \in ℕ_{0}

vorsichtig sein: Hier sind nämlich ab einem gewissen Index alle Reihenkoeffizienten Null, d.h., die Potenzreihe ist nur eine Polynomfunktion, was ja eben jenes

R = \infty

ermöglicht.

Euler03 aktiv_icon

12:15 Uhr, 14.03.2024

Hallo @KartoffelKäfer,

Danke dir vielmals für deine Antwort und @HAL9000 für deine wichtige Bemerkung (hab's somit hinbekommen).

LG Euler :-)

Randolph Esser aktiv_icon

13:36 Uhr, 14.03.2024

Der triviale Fall

α \in N_{0}

sei für das Quotientenkriterium natürlich auszuschließen, ebenso

z = 0 . .

HAL9000

15:08 Uhr, 14.03.2024

Um das noch zu ergänzen: Für

α \in ℕ_{0}

gilt

(\begin{array}{c} α \\ k \end{array}) = 0

für alle

k \geq α + 1

und somit

B_{α} (z) = \sum_{k = 0}^{α} (\begin{array}{c} α \\ k \end{array}) z^{k} (*)

,

was nichts weiter ist als

{(1 + z)}^{α}

gemäß Binomischem Satz, und dies für alle

z \in ℂ

. Die Konvergenz der endlichen Summe (*) ist natürlich kein Thema.

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