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Konvergenzradius - doppelte Summe

Universität / Fachhochschule

15:44 Uhr, 31.03.2011

Hallo allerseits! =)

habe auf der Uni folgende Aufgabe erhalten:

$\sum_{n = 0}^{\infty} \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} x^{n}$

... von dieser Reihe soll ich den Konvergenzradius bestimmen.

Ich muss noch erwähnen, dass ich noch nie ein doppeltes Summenzeichen gesehen habe und kann es nicht recht interpretieren.

Das Prinzip des Konvergenzradius ist mir auch nicht ganz klar.

Danke für Eure Hilfe!

Helmi

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

18:59 Uhr, 31.03.2011

1 .)

Bekannt dürften sicherlich Reihen der Art

\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} \cdot x^{n}

sein.
Hier ist also

a_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k};

a_{n}

ist eine endliche Summe; es sind die Teilsummen der (bekannten divergenten) harmonischen Reihe.

2 .)

Um den Konvergenzradius

R

einer Reihe

\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} \cdot x^{n}

zu ermitteln,kann man die Formel von Cauchy-Hadamard, im Falle der (jeweiligen)Existenz der Limiten auch

\frac{1}{R} = lim_{n \to \infty} | \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} | = lim_{n \to \infty} {| a_{n} |}^{\frac{1}{n}}

verwenden.

In diesem Zusammenhang sollten folgende Grenzwerte bekannt sein:

1 = lim_{n \to \infty} c^{\frac{1}{n}} = lim_{n \to \infty} {(n^{k})}^{\frac{1}{n}}; c \geq 0

eine Konstante;

k \in ℕ .

3 .)

Wir benötigen eine Abschätzung für

a_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k}

. Es genügt hier eine "sehr grobe Abschätzung"

z . B : 1 \leq a_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} \leq n .

Wir erhalten:

1 \leq a_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} \leq n \Rightarrow

1 \leq a_{n}^{\frac{1}{n}} = {(\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k})}^{\frac{1}{n}} \leq n^{\frac{1}{n}}

und mit dem Einschließungskriterium schließlich:

1 \leq lim_{n \to \infty} {(\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k})}^{\frac{1}{n}} \leq lim_{n \to \infty} n^{\frac{1}{n}} = 1 \Rightarrow \frac{1}{R} = 1;

also

R = 1

MfG

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