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Konvergenzradius rekursiver Potenzreihe

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen

daniel7 aktiv_icon

18:23 Uhr, 27.01.2016

Hallo,
ich habe die Aufgabe bekommen den Konvergenzradius der folgenden Potenzreihe zu bestimmen:

(\sum_{i = 0}^{N} a_{n} * z^{n})_{n \in N_{0}}

a_{0} = 0

a_{1} = 1

a_{k + 2} = a_{k} * \frac{(2 k + 3) * (2 k + 1)}{(k + 1) * (k + 2)}

Alle geraden Glieder sind daher 0.
Ich habe bereits herausgefunden, dass es für dieses Fall die Formel

c = limsup ∣ \frac{a_{2 k + 1}}{a_{2 k + 3}} ∣

gelten soll und der Konvergenzradius

\sqrt{c}

ist. Diese Formel haben wir jedoch nicht in der Vorlesung besprochen.

Wie könnte ich den Konvergenzradius mit Wurzel/-Quotientenkriterium bestimmen?

Viele Grüße,
Daniel

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

08:49 Uhr, 28.01.2016

Du hast also die Reihe

\sum_{k = 1}^{\infty} a_{2 k + 1} z^{2 k + 1} = z \sum_{k = 1}^{\infty} a_{2 k + 1} (z^{2})^{k} = \sum_{k = 1}^{\infty} b_{k} (z^{2})^{k}

mit

b_{k} = a_{2 k + 1}

. Für diese Reihe kann man den Konvergenzradius (bezüglich

z^{2}

!!!) mit der Standardformel

r = lim_{k} ∣ \frac{b_{k}}{b_{k + 1}} ∣ = lim_{k} ∣ \frac{a_{2 k + 1}}{a_{2 k + 3}} ∣

berechnen. Der Konvergenzradius bzgl.

z

wird dann

\sqrt{r}

sein.

>Diese Formel haben wir jedoch nicht in der Vorlesung besprochen.

Wie Du siehst, ist ihre Herleitung sehr einfach. (Ich schreibe

lim

und nicht

limsup

, weil

lim

in diesem Fall existiert).

Bummerang

10:02 Uhr, 28.01.2016

Hallo,

Alternativweg:

Weise nach, dass die Folge

a_{n}

aus positiven Folgegliedern besteht und streng monoton wachsend und nach oben beschränkt ist. Dann existiert der Grenzwert

g

und es gilt:

| \sum_{k} a_{n} \cdot z^{n} | < | \sum_{k} g \cdot z^{n} | = | g \cdot \sum_{k} z^{n} | = g \cdot | \sum_{k} z^{n} |

Den Konvergenzradius dieser Summe solltest Du kennen...

DrBoogie aktiv_icon

10:39 Uhr, 28.01.2016

a_{n}

ist nicht nach oben beschränkt

Bummerang

10:57 Uhr, 28.01.2016

Hallo,

"

a_{n}

st nicht nach oben beschränkt"

Stimmt, ist ja rekursiv die Darstellung und nicht explizit (also ohne den Faktor

a_{k},

den ich unter den Tisch fallen ließ).

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