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Konvergenzradius von Potenzreihen

Universität / Fachhochschule

Funktionenreihen

Tags: Funktionenreihen, Potenzreihe

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20:47 Uhr, 25.05.2012

Hallo! :-)
Hätte mal wieder ein paar Fragen zu den Aufgaben im Anhang:

1)

Habs auf einem Schmierzettel mit der Formel von Cauchy-Hadamard und der Euler Formel probiert, nach meiner Einschätzung divergiert die Reihe.
Wobei ja dann die Formel von Euler unbrauchbar sein sollte (die gilt ja nur, falls es ein Limes existiert bzw. falls ein Grenzwert existiert?

Also Anwendung der Cauchy-Hadamard Formel (die Betragsstriche habe ich hier der Einfacheit wegen weggelassen):

r =

1/limsup

\sqrt[n]{{(\frac{2}{n})}^{n} \cdot x^{n}}

Jetzt kann man den Teil mit der Wurzel umformen:

\sqrt[n]{{(\frac{2}{n})}^{n} \cdot x^{n}} = (\frac{2}{n}) \cdot x = \frac{x}{n}

oder

x^{- n}

.
Hab jetzt mal ein bisschen gegoogelt, das obige ist verwandt zur geometrischen Folge, bei Reihen nennt man das laut Wikipedia Laurent Reihe, was aber glaube ich nicht Inhalt der VL Analysis 1 ist.
Sollte man jetzt mit der

ε

Definition versuchen den Grenzwert herauszubekommen, oder was ist da am klügsten?

2)

Habe hier jetzt wieder Cauchy Hadamard und Euler benutzt, Cauchy Hadamard erscheint mir einfacher, auch wenn ich nicht weiterkomme:

r =

1/limsup

\sqrt[n]{\frac{3 + {(- 2)}^{n}}{n^{3}} \cdot z^{n}}

= \sqrt[n]{\frac{3 z^{n} + {(- 2 z)}^{n}}{n^{3}}}

Wie kann man da denn jetzt weiter umformen?

3. Hier wieder einmal Cauchy-Hadamard:

r =

1/limsup

\sqrt[n]{\frac{1}{9^{n}} \cdot x^{2 n}}

= \sqrt[n]{{(\frac{x^{2}}{9})}^{n}}

= \frac{x^{2}}{9} = \frac{1}{9} x^{2}

Das divergiert offensichtlich (muss ich das hier beweisen), aber was folgt daraus für r?

Für die

d)

sollte ich glaube ich erst

3)

korrekt gelöst haben.

Vielen Dank schonmal! :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

OmegaPirat

21:30 Uhr, 25.05.2012

Wieso schleppst du die Variable mit in die formel von Cauchy-Hadamard?
eine potenzreihe

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} \cdot {(z - z_{0})}^{n}

konvergiert für alle

z \in ℂ

mit

| z - z_{0} | < r

wobei

r = \frac{1}{lim_{n \to \infty} s u p \sqrt{| a_{n} |}}

in deinem fall ist

z_{0} = 0

. das heißt alle konvergenten

z

liegen dann in der komplexen zahlenebene in einem kreis vom radius

r

um den punkt

z = 0

herum.

dabei ist hier

a_{n} = \frac{2^{n}}{n^{n}}

in die formel von hadamard eingesetzt ergibt dies

r = \infty

das heißt die summe konvergiert für jedes

x

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21:37 Uhr, 25.05.2012

Mhm muss auch sagen, dass ich die Definition mit dem

(x - x_{0})

nicht wirklich verstehe.

Macht es einen Unterschied ob das

x \in C

oder

\in R

ist? Wir haben die komplexen Zahlen nämlich noch nicht eingeführt.

Und fehlt bei der Wurzel nicht noch das "die n-te Wurzel" statt "Wurzel aus" bzw. "2. Wurzel aus"?

OmegaPirat

22:01 Uhr, 25.05.2012

oh ja ich habe das

n

bei der wurzel vergessen.

die komplexen zahlen brauchst, du um zu verstehen wieso das konvergenzRADIUS heißt.

in der gaußschen zahlenebene liegen nämlich die

z

für die die reihe konvergiert in einem kreis vom radius

r

z_{0}

.
wenn du nun um

z_{0} = 0

einen kreis vom radius

r

legst, dann liegen natürlich die reellen zahlen von

- r

bis

+ r

im kreis. wenn jetzt bspw. bei der formel von hadamard

r = 1

rauskäme. dann konvergiert die potenzreihe

\sum a_{n} {(x - x_{0})}^{n}

für die reellen

x

von

x_{0} - 1

bis

x_{0} + 1

bzw. für

x_{0} = 0

für

- 1 < x < 1

in deinem fall ist aber

r = \infty

. das bedeutet, dass die reihe für alle

x

konvergiert.

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22:19 Uhr, 25.05.2012

Ja, das ergibt Sinn.
Meinst du ich sollte dann lieber

z \in C

oder

z \in R

schreiben?
Sinnvoll wäre ja

C,

aber wenn das noch nicht drangekommen ist?

Also bekomme ich dann nach Cauchy-Hadamard

\sqrt[n]{{(\frac{2}{n})}^{n}} = \frac{2}{n} = 2 \cdot \frac{1}{n}

limsup für

n \to

unendlich

2 \cdot \frac{1}{n} = 0

(Hier kann ich doch vorraussetzen, dass der

lim

für

\frac{1}{n}

bekannt ist, nicht wahr?)

\to r =

unendlich

2)

wäre dann

r =

1/limsup

\sqrt[n]{\frac{3 + {(- 2)}^{n}}{n^{3}}}

Wie könnte ich das noch weiter umformen um auf eine Lösung zu kommen?

3) r =

1/limsup

\sqrt[n]{\frac{1}{9^{n}}} = \sqrt[n]{9^{- n}}

Kann ich da die Wurzel auflösen? bei

^+ n

ja, aber bei

^- n

OmegaPirat

23:55 Uhr, 25.05.2012

im prinzip ist es egal ob du jetzt alle

z \in ℂ

angibst oder dir nur die reellen

z

in diesem kreis rauspickst. Ich finde es aber unüblich sich mit potenzreihen zu beschäftigen bevor die komplexen zahlen eingeführt wurden.

Der logische schritt ist eigentlich, dass man erst komplexe Zahlen und dann potenzreihen einführt.

zu 2:
das quotientenkriterium ist hier einfacher durchzuführen.

zu 3:
natürlich kannst du die wurzel einfach mit dem exponenten wegheben. übrig bleibt

\frac{1}{9}

SilverShadow aktiv_icon

00:05 Uhr, 26.05.2012

Meinst du mit dem Quotientenkriterium das für ganz normale Reihen?
In meinem Buch kommt das nämlich so rüber, als ob man

r

nur mit Cauchy-Hadamard und Euler berechnen könnte.

Den Rest probiere ich dann morgen mal :-)

hagman aktiv_icon

10:56 Uhr, 26.05.2012

Bei 2 sind natürlich Betragsstriche notwendig

r = \frac{1}{lim s u p \sqrt[n]{| \frac{3 + {(- 2)}^{n}}{n^{3}} |}}

Wegen

| \frac{3 + {(- 2)}^{n}}{n^{3}} | = | {(- 1)}^{n} \cdot \frac{3 + {(- 2)}^{n}}{n^{3}} | = | \frac{{(- 1)}^{n} \cdot 3 + 2^{n}}{n^{3}} |

gilt für große

n

(genauer

n \geq 2)

| \frac{3 + {(- 2)}^{n}}{n^{3}} | = \frac{{(- 1)}^{n} \cdot 3 + 2^{n}}{n^{3}} = 2^{n} \cdot \frac{1 + 3 \cdot {(- \frac{1}{2})}^{n}}{n^{3}}

Die n-te Wurzel hieraus ist

2 \cdot \frac{\sqrt[n]{1 + 3 \cdot {(- \frac{1}{2})}^{n}}}{{(\sqrt[n]{n})}^{3}}

Die Wurzel im Zähler geht "offensichtlich"

\to 1,

der grenzwert

\sqrt[n]{n} \to 1

sollte bekannt sein, somit gilt sogar

lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{| \frac{3 + {(- 2)}^{n}}{n^{3}} |} = 2,

erst recht dasselbe mit limsup und schließlich

r = \frac{1}{2}

SilverShadow aktiv_icon

13:18 Uhr, 26.05.2012

Sollte das vor dem "gilt für große n" nicht ohne Betragsstriche sein?
Und warum genau kann man da jetzt eigentlich mit

{(- 1)}^{n}

multiplizieren?

Warum kommt im Zähler eigentlich 1 raus, sollte das nicht

- 1

sein

(\sqrt[n]{1} = 1

in diesem Fall)?
Kann man das eigentlich auch so unter das r=1/limsup... drunterschreiben, oder sollte man das jedesmal umformen mit r=1/limsup...=1/limsup...=1/limsup... usw.?

Bei der

c)

sollte mein

r

dann doch 9 sein, oder?

Und was meinen die eigentlich bei der

d)

mit dem Verhalten am Ende des Konvergenzbereiches für

d)

OmegaPirat

18:14 Uhr, 26.05.2012

Mit Quotientenkriterium meine ich dieses hier:

r = lim_{n \to \infty} | \frac{a_{n}}{a_{n + 1}} |

damit erhälst du auch

r = \frac{1}{2},

wobei dieser grenzwert aber einfacher zu berechnen ist.

SilverShadow aktiv_icon

12:50 Uhr, 27.05.2012

Achso, das steht in meinem Buch nämlich unter Formel von Euler.

Was soll ich denn eigentlich bei der

d)

machen?

Und eine Verständnisfrage: Warum darf ich bei der

c) x^{2 n}

weglassen bzgl. der Konvergenzradius Berechnung? In allgemeiner Form wäre es ja dann

{(x - x_{0})}^{2 n};

ist es egal ob da ein

n,

zwei

n

oder was auch immer im Exponenten steht?

hagman aktiv_icon

16:14 Uhr, 27.05.2012

Ich konnte oben genau deshalb ungestraft mit

{(- 1)}^{n}

multiplizieren, *weil* ich Betragsstriche verwendete.
Zum Zähler: Wegen

| - \frac{1}{2} | < 1

gilt

1 + 3 \cdot {(- \frac{1}{2})}^{n} \to 1

und erst recht

\sqrt[n]{}

davon

\to 1

.

Allgemein zur Umformung: Man kann immer den ganzen Kram mit herumschleppen, aber ich finde es übersichtlicher, wenn man vor allem bei längeren Umformungen handliche Bestandteile einzeln umformt und die Ergebnisse am Ende zusammenträgt.

SilverShadow aktiv_icon

16:57 Uhr, 27.05.2012

Gut.

Also

c) 9

und was soll dann

d)

bedeuten?

hagman aktiv_icon

17:13 Uhr, 27.05.2012

Ich sehe kein

d)

.
Meinst du die Zusatzfrage am Ende?

Wenn der berechnete Konvergenzradius

r

ist, dann gilt folgendes: Für alle

x

mit

x_{0} - r < x < x_{0} + r

konvergiert die Reihe. Die Konvergenz oder Divergenz für

x = x_{0} - r

bzw.

x_{0} = x_{0} + r

muss gesondert überprüft werden.

SilverShadow aktiv_icon

17:59 Uhr, 27.05.2012

Ja genau, ich meinte die Zusatzfrage.

Das verstehe ich jetzt irgendwie nicht ganz. Mein Problem ist auch erstmal zu verstehen, was die Zusatzaufgabe bedeutet, also was ich da machen soll!

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16:45 Uhr, 28.05.2012

Oder war das was du schon gesagt hast alles?

hagman aktiv_icon

16:58 Uhr, 28.05.2012

Ja. Welche Reihe ergibt sich explizit, wenn du den rechten bzw. linken Intervallrandpunkt einsetzt? Konvergiert oder divergiert dies?

SilverShadow aktiv_icon

17:10 Uhr, 28.05.2012