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Konvexität

Universität / Fachhochschule

Tags: Analysis, Konvexität

Sabine2 aktiv_icon

21:39 Uhr, 04.10.2013

Hallo,
ich soll zeigen, dass mit

f : ℝ \to \bar{ℝ} = ℝ \cup {\infty}

gilt:

f

konvex

\Rightarrow

dom(f)

= {x \in ℝ | f (x) \neq \infty}

gilt.

Idee:

z . Z . :

Wenn

x_{1}, x_{2}

in dom(f) , dann ist auch

λ \cdot x_{1} + (1 - λ) \cdot x_{2}

in dom(f).
Bew: Da

f

konvex ist, gilt

f (λ \cdot x_{1} + (1 - λ) \cdot x_{2}) \leq λ \cdot f (x_{1}) + (1 - λ) \cdot f (x_{2})

. Ferner ist

f (x_{1}), f (x_{2}) \neq \infty,

x_{1}, x_{2}

in dom(f).
Auf der rechten Seite der Ungleichung steht also etwas endliches. Da die rechte Seite der Ungleichung endlich ist und größer ist als die linke, muss auch die linke Seite endlich sein. Es ist also

f (λ \cdot x_{1} + (1 - λ) \cdot x_{2}) \neq \infty

und damit

λ \cdot x_{1} + (1 - λ) \cdot x_{2}

in dom(f).

Ist das ein Beweis? Eher nicht oder? Wie kann man das "mathematisch" ausdrücken?
Lieben Dank,
Sabine

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Apfelkonsument aktiv_icon

21:51 Uhr, 04.10.2013

Das ist schon ok so.

Ich würde vielleicht an dieser Stelle etwas Argumentation sparen und so schreiben:

f (λ x_{1} + (1 - λ) x_{2}) \leq λ f (x_{1}) + (1 - λ) f (x_{2}) < \infty

(da

x_{1}, x_{2} \in d o m (f)

).

Was du danach geschrieben hast ist dann eigentlich klar und es reicht, wenn du mit
"Es ist also

f (. . .) \neq \infty

und daher .... in dom(f)"

schließt.

Sabine2 aktiv_icon

22:03 Uhr, 04.10.2013

Ich hab mich dann eben noch gefragt, ob die Rückrichtung auch geht. Ne, oder?
Gegenbeispiel:

f : ℝ \to \bar{ℝ}; x \to - x^{2}

Es ist dom(f)=RR (oder?), aber

f

ist nicht konvex. (Das müsste ich dann noch zeigen, aber das ist ja schon rein anschaulich klar.)

Apfelkonsument aktiv_icon

22:08 Uhr, 04.10.2013

Ja, du liegst richtig. Die Rückrichtung gilt nicht.

Sabine2 aktiv_icon

22:10 Uhr, 04.10.2013

Und was ist mit meinem Beispiel?
Mal davon abgesehen, dass es

f : ℝ \to \bar{ℝ} \cup {- \infty}

sein müsste..

Apfelkonsument aktiv_icon

22:23 Uhr, 04.10.2013

Dein Beispiel ist ok.

Auch

f : ℝ \to ℝ \cup {\infty}

passt, denn sowohl

- \infty

als auch

\infty

werden ja beide nicht als Wert angenommen. Es ist also

d o m (f) = ℝ

eine konvexe Menge, aber

f

nicht konvex.

Sabine2 aktiv_icon

22:41 Uhr, 04.10.2013

Also würde auch

ℝ \to ℝ

gehen?
Muss ich Zeigen, dass

ℝ

konvex ist? Ist ja irgendwie logisch. Wie würde man sowas zeigen?

Ist eigentlich eine Funktion konvex, die für

x \leq 0 = 0

und für

x > 0 \infty

ist? Wie zeigt man sowas?

Apfelkonsument aktiv_icon

22:53 Uhr, 04.10.2013

"Muss ich Zeigen, dass ℝ konvex ist?"

In dem Stadium, wo man sich mit Konvexität auseinandersetzt, sollte das denke ich vorausgesetzt werden können. Das folgt direkt aus den Körperaxiomen (dass

ℝ

abgeschlossen bezüglich Addition und Multiplikation ist)

"Ist eigentlich eine Funktion konvex, die für x≤0=0 und für x>0∞ ist? Wie zeigt man sowas?"

Ja, ist sie. Gehe genauso vor, wie sonst auch. Nimm dir

x, y \in ℝ, λ \in (0, 1)

.

Ist mindestens einer der Werte x oder y größer

0

, ist das zu zeigende offensichtlich, wegen

λ f (x) + (1 - λ) f (y) = \infty

. Da ist die Ungleichung dann wahr, egal, was auf der linken Seite steht. Sind beide Werte kleiner als

0

, solltest du eigentlich auch direkt sehen, was los ist ;-)

Sabine2 aktiv_icon

22:56 Uhr, 04.10.2013

Alles klar, dann mache ich morgen mal ein paar Aufgaben zum Üben, wenn Fragen sind, melde ich mich hier wieder :-) Mit den Infos sollte ich aber erst einmal weiterkommen, danke :-)

Die Frage hatte übrigens folgende Motivation: Ich kann bei der Funktion nicht immer eine Linie zwischen zwei Punkten zeichnen, die über dem Graphen liegt.

Sabine2 aktiv_icon

11:44 Uhr, 05.10.2013

Hallöchen. Für

x, y \leq 0

ist

λ \cdot f (x) + (1 - λ) \cdot f (y) = 0

λ \cdot x + (1 - λ) \cdot y

ist dann

\leq 0,

womit

f (λ \cdot x + (1 - λ) \cdot y) = 0

ist. Also ist die Ungleichung erfüllt.

Die Funktion

h = 0

für

x < 0

und

\infty

für

x \geq 0

ist auch konvex, oder? Jedenfalls nach rechnung.

Wieso passt hier aber die anschauliche Erklärung der Konvexität nicht mehr? Neme ich ein Punkt auf der linken Halbachse und einen auf der rechten, so ist die Verbindungsstrecke doch nicht über dem Graphen.

Wie kann ich zeigen, dass

- x^{2}

nicht konvex ist?
Dafür müsste ich ja

- {(λ \cdot x + (1 - λ) \cdot y)}^{2} > λ \cdot (- x^{2}) + (1 - λ) \cdot (- y^{2})

zeigen.

Apfelkonsument aktiv_icon

12:20 Uhr, 05.10.2013

Hallo,

"Neme ich ein Punkt auf der linken Halbachse und einen auf der rechten, so ist die Verbindungsstrecke doch nicht über dem Graphen."

Wie willst du denn eine Verbindungsstrecke zeichnen? Der eine Punkt liegt doch unendlich weit oben.

Vielleicht hilft dir aber auch das folgende(vorsicht, das ist nur Anschauung, es steckt keinerlei mathematische Präzision dahinter):
Läge der Punkt über der rechten Halbachse nicht unendlich hoch, sondern nur sehr weit oben, würdest du mir zustimmen, dass die Verbindungsstrecke einen Winkel nahe bei 90° mit der x-Achse einschließen würde. Liegt der Punkt nun unendlich hoch, so muss die Verbindungsstrecke einen Winkel von 90° mit der x-Achse einschließen. Sie ist also eine senkrechte Gerade, die dann über dem Graphen liegt.

"Wie kann ich zeigen, dass -x2 nicht konvex ist?"
Es reicht ein einziges Beispiel. Du kannst die Konvexität zum Beispiel mit

x = - 1, y = 1, λ = \frac{1}{2}

widerlegen.

Sabine2 aktiv_icon

12:31 Uhr, 05.10.2013

Achja, ein Gegenbeispiel genügt ja.
Meine bemerkung, dass

f

und

h

konvex sind, stimmen?

Die Frage ist nun noch, ob sie sich als Supremum von affin linearen Funktionen schreiben lassen.
Ich denke nicht, da wir affin lineare Funktionen nur von

ℝ

nach

ℝ

und nicht von

ℝ

nach

\bar{ℝ}

definiert haben.

Apfelkonsument aktiv_icon

12:47 Uhr, 05.10.2013

"Meine bemerkung, dass f und h konvex sind, stimmen?"

Ja.

"Die Frage ist nun noch, ob sie sich als Supremum von affin linearen Funktionen schreiben lassen.
Ich denke nicht, da wir affin lineare Funktionen nur von ℝ nach ℝ und nicht von ℝ nach ℝ¯ definiert haben."

Ich bin selber noch relativ neu in dem Thema, deswegen sagt mir der Zusammenhang gerade nichts. Wenn du magst, können wir uns das gerne zusammen erarbeiten. Oder ich ziehe mich aus dem Thread zurück. Schreib bitte, was dir lieber ist.

Falls wir das zusammen überprüfen sollen, müsstest du mir sagen, worauf du dich beziehst.

Sabine2 aktiv_icon

12:57 Uhr, 05.10.2013

Ok, dann hier folgendes:

1)

Seien

s, t \in ℝ,

dann heißt

l : ℝ \to ℝ; l (x) = s \cdot x + t

affin linear.

2)

Sei

f : ℝ \to \bar{ℝ}

. Eine affin lineare Funktion

l : ℝ \to ℝ

heißt Minorante von

f

falls

l (x) \leq f (x) \forall x \in ℝ

3)

Eine Minorante an

f

heißt exakt in

\bar{x},

wenn

l (\bar{x}) = f (\bar{x})

.

Daraus kann man dann den Satz erhalten:
Sei

f : ℝ \to \bar{ℝ}

gegeben und

l_{1}, ..., l_{n}

mit

n \in ℕ

enie Folge von affin-linearen Minoranten. Ist dann

f =

Sup_(i in

ℕ) l_{i}

so ist

f

konvex.

f =

Sup_(i in

ℕ) l_{i}

ist definiert durch

f (x) = min {y | y \geq l_{i} (x) \forall i \in ℕ} \forall x \in ℝ

.
Sup bezeichnet das Supremum.

Hilft dir das weiter? ;-)

Apfelkonsument aktiv_icon

13:03 Uhr, 05.10.2013

Edit: Muss erstmal deinen Edit nochmal lesen ;-)

Edit2: Ok, in dem Fall denke ich aber schon, dass zumindest

f

sich so darstellen lässt. Bei

g

müsste ich nochmal überlegen.

Betrachte dafür

l_{1} (x) = 0

für alle

x \in ℝ

und für

i > 1

l_{i} (x) = i x

für alle

x \in ℝ

.

Dann bekommst du auf jedenfall, dass das Supremum über diese Funktionen gleich 0 ist für

x \leq 0

, da alle Funktionen für

x = 0

den Wert 0 annehmen und es nur eine einzige Funktion gibt, die im negativen Bereich nicht negativ ist. Für alle positiven

x - W e r t e

nimmt das Supremum aber unendlich an, also genau, wie bei

f

.

Für

g

überlege ich nochmal.

Sabine2 aktiv_icon

13:08 Uhr, 05.10.2013

Nein, steht da nicht, ich denke aber trotzdem, dass es punktweise gebildet wird. Ich hab ja geschrieben, wie es definiert ist, und dort wird mit

f (x)

gearbeitet.

Apfelkonsument aktiv_icon

13:18 Uhr, 05.10.2013

Für

g

fällt mir im Moment nicht ein, wie man das als Supremum affiner Funktionen schreiben könnte. Ich überlege gerade, ob bzw. wie man beweisen könnte, dass es nicht geht, falls das denn stimmt.

Apfelkonsument aktiv_icon

13:24 Uhr, 05.10.2013

Ok, das kann man so zeigen:

Angenommen es gäbe eine Funktionenfolge

(g_{i})_{i \in ℕ}

affiner Funktionen mit

g = sup_{i \in ℕ} g_{i}

. Wegen

g (0) = \infty

gibt es dann mindestens ein

i \in ℕ

mit

g_{i} (0) > 0

. Da

g_{i}

als affine Funktion stetig ist, gibt es dann eine Umgebung um

0

auf der

g_{i}

auch positiv ist, insbesondere also

x < 0

mit

g_{i} (x) > 0

. Daraus folgt aber

g (x) > 0

, ein Widerspruch zur Annahme.

Sabine2 aktiv_icon

13:41 Uhr, 05.10.2013

Super, hast mir sehr geholfen. Vielen Dank :-)

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