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Konvexität bei zweimal differenzierbare Funktion

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Funktion

simssims aktiv_icon

13:04 Uhr, 22.09.2020

Hallo,
ich habe folgende Aufgabe die ich lösen muss

Sei f:

ℝ \to ℝ

zweimal differenzierbar und konvex.
Dann:

a.

x \to e^{f (x)}

ist konvex
b.

x \to f^{2} (x)

ist konvex
c. f ist monoton
d.

f \circ f

ist konvex.

Als Lösung haben wir a. als korrekt. Ich verstehe aber nicht warum. Ich komme mit diese Begriffe der Konvexität und Ihr Zusammenhang mit Monotonie und zweimal differenzierbarkeit nicht durch. Ich habe für eine Stunde alle Eigenschaften von konvexe Funktionen gesehen und so aber trotzdem konnte ich den Aufgabe nicht lösen. Und alle unsere Aufgaben sind so.

Ich weiss nicht ob mir jemand ein Tipp geben kann was wichtig für mich zu wissen ist, um diese Aufgabe zu lösen (auch links oder Büchern die ich nachschauen soll), was "der Schlüssel" für diese Aufgaben ist und was mir in diesen Fall helfen kann. Ich verbringe Stunden mit Definitionen und so aber trotzdem in Praxis kann ich das nicht umsetzen.

Bitte keine unnötige und unhilfreiche Kommenten. Ich weiss dass die Frage ein bisschen nicht typisch ist aber ich wäre herzlich dankbar für eure Hilfe

LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

DrBoogie aktiv_icon

15:06 Uhr, 22.09.2020

Eine diff-bare Funktion

f

ist konvex genau dann wenn

f^{ʹ}

monoton steigend ist.
Eine diff-bare Funktion

g

ist monoton steigend genau dann wenn

g^{ʹ} (x) \geq 0

überall.
Damit hast du auf jeden Fall

f ʺ (x) \geq 0

\forall x

für deine

f

.

Jetzt für

g (x) = e^{f (x)}

gilt

g^{ʹ} (x) = f^{ʹ} (x) e^{f (x)}

und

g ʺ (x) = f ʺ (x) e^{f (x)} + (f^{ʹ} (x))^{2} e^{f (x)}

. Wegen

f ʺ (x) \geq 0

für alle

x

gilt

g ʺ (x) \geq 0

für alle

x

. Damit ist

g^{ʹ} (x)

monoton steigend, also

g

konvex.

simssims aktiv_icon

10:52 Uhr, 23.09.2020

Hallo,
Danke für deine Antwort. Hätte noch eine kurze Frage, folgt die f"(x)>= 0 das du geschrieben hast, aus die Tatsache dass mein Funktion zweimal differenzierbar und konvex ist?

DrBoogie aktiv_icon

10:58 Uhr, 23.09.2020

Ja. Warum, steht in meinen ersten 2 Zeilen oben.

simssims aktiv_icon

10:59 Uhr, 23.09.2020

Alles super klar. Danke dir

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