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Konvexität einer Funktion und Niveaumenge kompakt
Universität / Fachhochschule
Sonstiges
Tags: Konvexität, Optimierung
 
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Hallo, ich habe erneut eine Frage zu Optimierung. Ich soll die Konvexität, und nicht streng Konvexität, der Funktion zeigen und dass die Niveaumengen von f kompakt sind. ist eine beliebige Norm im und Mein Anfang: z.z.: für Ich habe die Homogenität und Dreiecksungleichung verwendet und das bekommen: vorne: und rechts vom Kleiner-Gleich Zeichen steht ja: Die Betragsstriche kann ich ja weglassen, da der Ausdruck wegen eh positiv bzw 0 ist, aber was mache ich mit dem y das bei dem einen Ausdruck da ist und bei dem anderen nicht? Wie beweise ich nun dass es Konvex, aber eben nicht streng konvex ist (also dass die Gelcihheit u.a. gelten muss)? Das mit den Niveaumengen mache ich danach (brauche dabei wahrscheinlich auch Hilfe) |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Funktion (Mathematischer Grundbegriff) |
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Hallo, nach "vorne: " hast du die Dreiecksungleichung seltsam verwendet. Wo kommt denn her? Gruß ermanus |
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Oh du hast Recht, da habe ich einen Fehler gemacht! Dann stehe ich ja wieder am Anfang: Vor dem Zeichen habe ich: und rechts vom Kleiner-Gleich Zeichen steht ja: + Die Betragsstriche kann ich ja weglassen, da der Ausdruck wegen eh positiv bzw 0 ist, aber was mache ich jetzt weiter? Bei dem einen Ausdruck ist ein y mehr und das andere y hat keinen Vorfaktor :( |
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Hier ein Tipp: was hältst du von ... |
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Super danke!! Damit konnte ich den Ausdruck vor dem genau in den Ausdruck hinter dem umformen! Nun muss ich nur noch sagen, warum kein < sein darf und somit die streng Konvexität nicht folgen darf. Liegt das einfach an der Dreiecksungleichung? |
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Wenn beides skalare Vielfache von sind, herrscht überall "". |
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Wo genau erkenne ich, dass skalare Vielfachheiten von y sind? |
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Na, du bist lustig! wenn und ist für zwei Skalara und . |
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Ich meinte nicht die allgemeine Definition, sondern in dieser Aufgabe konkret. Warum können hier skalare Vielfache von y sein? Oder gilt sowas immer Allgemein? |
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Vermutest du, dass das Gleichheitszeichen immer gilt? |
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Nein, aber warum können hier skalare Vielfache von y sein? Und noch eine Frage: wir hatten noch keine Niveaumengen, aber auf dem Blatten wurden sie definiert: Die Niveaumenge einer Funktion zum Wert ist definiert als: , also hier für: ? Eine Menge ist ja kompakt, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist (Heine Borell). Wie wende ich das hier denn an? |
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Verstehe ich nicht. dürfen doch alles mögliche sein! Auf deine Niveaumengen komme ich später ... |
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Sei . Dann ist , also die abgeschlossene "Kugel" oder der abgeschlossene "Ball" mit Radius und Mittelpunkt . |
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Oh ja stimmt, vielen Dank!!! Und die Beschränktheit folgt, dass die Niveaumenge in einer abgeschlossenen Kugel mit endlichem Radius enthalten ist? |
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Genau ;-) |
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Perfekt, danke für deine ausführliche Hilfe!!! |
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