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Konzentration von Schlafmittel im Körper berechnen

Schüler , 13. Klassenstufe

Tags: Absorptionsgleichung, Halbwertszeit

Catherin19 aktiv_icon

17:19 Uhr, 02.05.2012

Hallo Leute hab

n

kleines Problem, ich hoffe ihr könnt mir helfen.

Eine Messung ergab, dass von 2mg des Wirkstoffes Triazolam nach 3 Stunden, 1,18mg noch nicht abgebaut sind.

a)

Wie lautet die Absorptionsgleichung?

b)

Wie groß ist die Halbwertszeit?

Ich weiß, dass das

C 0 =

2mg ist aber was genau meinen die denn mit der Absorptionsgleichung?

C (t) = C 0 \cdot

???

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentielles Wachstum (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Exponentielles Wachstum und Zerfall

Matheboss aktiv_icon

17:31 Uhr, 02.05.2012

Du bist schon richtig.

C (t) = C (0) \cdot b^{t}

mit

b

als Minderungsfaktor jetzt Deine Werte einsetzen, Bennenungen habe ich weggelassen.

1,18 = 2 \cdot b^{3}

0,59 = b^{3}

b = 0,839

a) C (t) = 2 \cdot {0,839}^{t}

b)

Halbwertszeit

1 = 2 \cdot {0,839}^{t}

0,5 = {0,839}^{t}

jetzt logarithmieren

t = 3,95

Catherin19 aktiv_icon

18:01 Uhr, 02.05.2012

aaaaaaaaaaaaah, ok also muss ich praktisch den gegebenen Wert gleichstellen um

b

rauszukriegen ok.

noch ne kleine Frage, wie krieg ich raus nach welcher

t

die Konzentration auf

10 %

gesunken ist.

10 % = 0,1

alson hab ich

0,9

übrig

C (t) = 2 \cdot e^{0,9 \cdot t}

???

Ridersection aktiv_icon

18:11 Uhr, 02.05.2012

du rechnes die

10 %

davon aus, dann löst du

e

mit dem

ln

auf, dann einfach nach

t

auflösen :-D)

Catherin19 aktiv_icon

18:16 Uhr, 02.05.2012

also ist mein ansatz richtig?

Ridersection aktiv_icon

18:16 Uhr, 02.05.2012

übrigens,

0,9

ist n´falsch, du hast

b

ausgerechnet, wenn du die funktion als e-funktion schreiben willst musst du

e^{ln (b) \cdot t},

dann kommt für

ln (b)

was negatives, also in dem fall

- 0,1755

raus, muss ja auch negativ sein, da die konzentration des medikaments mit der zeit abnimmt :-D) gruß ridersection

Ridersection aktiv_icon

18:20 Uhr, 02.05.2012

also

0,2 = 2 \cdot e^{- 0,1755 \cdot t},

dann halt nach

t

auflösen

Matheboss aktiv_icon

18:23 Uhr, 02.05.2012

Wenn Du mit der e-Funktion rechnest, dann gleicher Weg mit Einsetzen

C (t) = C (0) \cdot e^{k \cdot t}

ergibt

C (t) = 2 \cdot e^{- 0.1759 \cdot t}

Wenn noch

10 %

von 2 mg vorhanden sind, sind das

0,2

0,2 = 2 \cdot e^{- 0.1759 \cdot t}

ergibt

t = 13,1

Catherin19 aktiv_icon

18:33 Uhr, 02.05.2012

Wie bist du jetzt auf die

0,1759

gekommen?

Matheboss aktiv_icon

18:37 Uhr, 02.05.2012

Ich habe zuerst ohne e-Funktion, sondern nur mit einer allgemeinen Exponentialfunktion gerechnet.
Ich habe dann bemerkt, dass Du mit e-Funktion rechnen willst, also obiger Ansatz.

C (t) = C (0) \cdot e^{k \cdot t}

Einsetzen ergibt

1,18 = 2 \cdot e^{k \cdot 3}

0,59 = e^{3 \cdot k}

ln (0.59) = 3 \cdot k

k = - 0,1759

also

C (t) = 2 \cdot e^{- 0,1759 \cdot t}

Catherin19 aktiv_icon

18:39 Uhr, 02.05.2012

ok meine rechnung wie ich es verstanden habe:

1,18 = 2 \cdot e^{ln (b) \cdot 3} | : 2

0,59 = e^{ln (b) \cdot 3} | ln

ln (0,59) = b \cdot 3 | : 3

\frac{ln (0,59)}{3} = b

- 0,1759 = b

und daher kommt auch die

0,1759

ne :-D)

Catherin19 aktiv_icon

18:41 Uhr, 02.05.2012

ok habs kapiert bei mir ist halt

k = ln (b)

daaanke euch 2 ;-)

Matheboss aktiv_icon

18:41 Uhr, 02.05.2012

Richtig.

Jetzt musst Du nur noch für

C (t) = 1

einsetzen, dann erhältst Du die Halbwertszeit.und

C (T) = 0,2

für die

10 %

Catherin19 aktiv_icon

19:04 Uhr, 02.05.2012

Hab ne kleine Frage noch:

In meinem heft hab ich gesehen dass die allgemeine Formel für die Halbwertszeit

\frac{ln 2}{k}

ist wenn ich bei meiner rechnung

\frac{ln 2}{- 0,1759}

rechne bekomm ich

- 3,94

anstatt

3,94

was ist falsch?
eig ist es logisch denn nach

3,94

also 4 stunden ist das medikament bis zur hälfte abgebaut aber die formel macht mich konfus

Matlog aktiv_icon

19:24 Uhr, 02.05.2012

Die Formel für die Halbwertszeit müsste sein

t = - \frac{ln (2)}{k}

.
Bei einer exponentiell wachsenden Funktion ist die Verdopplungszeit

t = \frac{ln (2)}{k}

Ridersection aktiv_icon

19:26 Uhr, 02.05.2012

ne die formel muss

\frac{ln (\frac{1}{2})}{k},

da hier die zahl kleiner als 1 (also

0,5)

sein muss, da so ein negativer zähler rauskommt, dann geteilt durch

- 0,1755,

dakommt ca.

3,94

raus :-D)

add: hab meine matheunterlagen noch mal angeschaut, sollte so eig. richtig sein!

hoffe die frage hat sich erledigt :-D)

gruß ridersection

Matlog aktiv_icon

19:28 Uhr, 02.05.2012

ln (\frac{1}{2}) = - ln (2)

Catherin19 aktiv_icon

19:30 Uhr, 02.05.2012

Danke ;-)

Catherin19 aktiv_icon

19:31 Uhr, 02.05.2012

Danke ;-)

Ridersection aktiv_icon

19:31 Uhr, 02.05.2012

@ matlog

jep, hab bloß nicht gesehen, dass du schon geantwortet hast, ich hab mir das immer so gemerkt (halbierung)szeit

= \frac{1}{2}

und (verdopplung)szeit

= 2

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