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Koordinaten des geom. Schwerpunkts der Kurve

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: geometrischer Schwerpunkt, Integration, Kurvenintegral

Benny1186 aktiv_icon

22:50 Uhr, 27.06.2011

Hallo,

ich finde für folgende Aufgabe in meinen Büchern keinen Ansatz zur Lösung.

Vielleicht könnt ihr mir weiter helfen.

-Berechnen Sie die Koordinaten des geometrischen Schwerpunktes der Kurve $γ$ .

a) $γ : [0, \frac{π}{2}] \to R^{3}, γ (t) = (\cos (t), \sin (t), 0)^{T}$

b) $γ : [0, 2 π] \to R^{3}, γ (t) = (\cos (t), \sin (t), t)^{T}$

Gruß Benny

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Yokozuna aktiv_icon

23:40 Uhr, 27.06.2011

Hallo,

da kannst Du das bei der anderen Frage erworbene Wissen gleich anwenden. Man muß sich die Kurve als sehr dünnen Draht vorstellen und wir suchen praktisch den Schwerpunkt von diesem Draht. Das geht mit folgenden Formeln:

x_{s} = \frac{1}{L (γ)} \cdot \int_{γ} x \cdot

y_{s} = \frac{1}{L (γ)} \cdot \int_{γ} y \cdot

z_{s} = \frac{1}{L (γ)} \cdot \int_{γ} z \cdot

L (γ) = \int_{γ}

L (γ)

ist die Kurvenlänge.
Das geht jetzt genau wie bei Deiner anderen Frage. Zuerst bestimmst Du das zur Kurve

γ (t)

gehörende Linienelement ds. Bei der x-Koordinate ist

f (x, y, z) = x,

bei der y-Koordinate ist

f (x, y, z) = y,

bei der z-Koordinate ist

f (x, y, z) = z

und bei der Kurvenlänge ist

f (x, y, z) = 1

.

Viele Grüße
Yokozuna

Benny1186 aktiv_icon

22:32 Uhr, 28.06.2011

ist dann ds $\sqrt{\cos (t) ² + \sin (t) ² + 0 ²}$ = $\sqrt{(\cos (t) + \sin (t)) ²}$ = $\cos (t) + \sin (t)$ = $\sin (t) - \cos (t)$ ?

dann hab ich:

$x s = \frac{1}{L (γ)} * \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (t) * d s$

$y s = \frac{1}{L (γ)} * \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (t) * d s$

xz= 0

Muss jetzt halt nur mal wissen, ob ds richtig ist.

Gruß Benny

Yokozuna aktiv_icon

23:15 Uhr, 28.06.2011

Leider nicht.

{(cos (t))}^{2} + {(sin (t))}^{2}

ist nicht das gleiche wie

{(cos (t) + sin (t))}^{2}

und wie Du von

cos (t) + sin (t)

auf

sin (t) - cos (t)

kommst, kann ich nicht nachvollziehen. Du hast auch offensichtlich nicht abgeleitet (obwohl in diesem Fall zufällig das gleiche herauskommt).
Es ist

\frac{d x}{d t} = - sin (t), \frac{d y}{d t} = cos (t)

und

\frac{d z}{d t} = 0 \Rightarrow

= \sqrt{{(\frac{d x}{d t})}^{2} + {(\frac{d y}{d t})}^{2} + {(\frac{d z}{d t})}^{2}} \cdot d t = \sqrt{{(- sin (t))}^{2} + {(cos (t))}^{2} + {(0)}^{2}} \cdot d t = \sqrt{{(sin (t))}^{2} + {(cos (t))}^{2}} \cdot d t

Nun ist aber

{(sin (t))}^{2} + {(cos (t))}^{2} = 1

(der sogenannte trigonometrische Pythagoras)

\Rightarrow

= \sqrt{{(sin (t))}^{2} + {(cos (t))}^{2}} \cdot d t = \sqrt{1} \cdot d t = d t

Wenn Du in den Integralen für

x_{s}

und

y_{s}

das ds durch

d t

ersetzt, stimmt es.

Viele Grüße
Yokozuna

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