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Koordinatendarstellung von Vektoren

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Tags: Linear Abbildung, Vektorraum

newcomers aktiv_icon

17:51 Uhr, 07.01.2016

Guten Abend,

ich verstehe Punkte nicht im Skriptum der Vorlesung.

B ist eine geordnete Basis von

V = R^{n}

.

Punkt 1: "Ist

v \in V

ein Vektor(und damit die Koordinatendarstellung von sich selbst bezüglich der Standardbasis), so ist Bv die Koordinatendarstellung desselben VEktors bezüglich B."

Das verstehe ich nicht. Würde es nicht heißen, dass v die Koordinatendarstellung von Bv ist bezüglich B?

Punkt 2: "Und ist

w \in V

die Koordinatendarestellung eines Vektors bezüglich B, so ist

B^{- 1} w

die Koordinatendarstellung desselben Vektors bezüglich der Standardbasis"
Warum wird hier die inverse Matrix von B eingeführt? Eigentlich ist es doch richtig, wenn man sagt, dass w die Koordinatendarstellung von Bw ist bezüglich B und Bw ist die Koordinatendarstellung von sich selbst bezüglich der Standardbasis.

Achja und für die Multiplikation werden die Basiselemente einfach als Spaltenvektoren, der Matrix interpretiert. D.h. die Matrix ist invertierbar, da ihre Spalten linear unabhängig sind, jedoch verstehe ich nicht, warum die Inverse hier gebraucht wird.

Ist Punkt 1 und 2 nun richtig, so wie es im Skriputm steht?

Bitte um hilfe. Danke!

LG
newcomers

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ledum aktiv_icon

00:22 Uhr, 08.01.2016

Hallo
einmal brauchst du

B

als B=b_1,b;2,..,B_n)als Basis, (im ersten Satz) später als die Transformationsmatrix, die Vektoren aus der Standartbasis in die Basis

B

überträgt_
also wenn man einen Vektor

v

in Standarddarstellung hat wird mit mit

B \cdot v = w

eine Vektor in

b

Darstellung erzeugt.
also

z . B : v = (1,12) w = (1,1)

bedeutet

v = 1 e_{1} + 2 e : 2

während

w = 1 b_{1} + 2 \cdot b_{2}

ist.
wenn du jetzt aus einem Vektor

w = B \cdot v

wieder

v

in StandardBasis willst brauchst du

B^{- 1} ⋆ w = B^{- 1} \cdot B \cdot v = E \cdot v = v

du schreibst "w die Koordinatendarstellung von Bw ist was stellst du dir unter Bw vor? gemeint ist Matrix Bmal Vektor

w,

was hier nicht so viel Sinn macht" wenn

B

die Matrix ist die

v_{e} \in W_{b}

verwandelt , wobei die Indices sagen in welcher Basis

v

und

w

gemeint sind.

stell dir die Basis

b

ℝ^{2}

etwa als

((1,1), (1,2)

vor wie kannst du etwa den Einheitsvektor

(1,0)

in dieser Basis darstellen? (er wird zu

((1, - 1) (0,1)

wird zu

(- 1,1)

also ist die Matrix

B = (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & - 1 \end{matrix})

ist es klarer?
Gruß ledum

newcomers aktiv_icon

13:30 Uhr, 08.01.2016

Hallo,

danke dir.

Du schreibst:
"also wenn man einen Vektor v in Standarddarstellung hat wird mit mit B⋅v=w eine Vektor in b Darstellung erzeugt."

Und ich habe gemeint: "wenn ich

B \cdot v = w

habe, dann ist v die Koordinatendarstellung von w bezüglich der Basis B."

Und das stimmt doch, du sagst das ja eig. auch oben. Ja, im Prinzip wird ein Vektor in B-Darstellung erzeugt. Was ich auch so gemeint habe.

1. Also stimmt meine Aussage jetzt da so?
2. Kannst du dein Beispiel klarer aufschreiben bitte, dass du am Ende gemacht hast?
Wir haben also eine Basis von

ℝ^{2}

, die ist

B = (1, 1), (1, 2)

. Und der Einheitsvektor (1,0) bzgl. der Standardbasis jetzt. Also Multiplizieren wir

B \cdot e_{1}

und habe denn einen neuen Vektor bezüglich der Basis B? Richtig?

ledum aktiv_icon

19:55 Uhr, 08.01.2016

Hallo
zur Abkürzung: alle Vektoren in der Standardbasis nenne ich

v,

die in Basis

B

nenne ich

w

Basis von

B = b_{1}, b 2, .

.
Standardbasis

e_{1} e ≻ e

dann ist

B \cdot v = w

und dein Satz sagt das Gegenteil"wenn ich B⋅v=w habe, dann ist

v

die Koordinatendarstellung von

w

bezüglich der Basis B."

ganz vielleicht willst du sagen

B

macht aus

v

einen Vektor

w \in B

Darstellung.? so wie du es formulierst ist es falsch
ja, jeden Vektor der eine Koordinatendarstellung in

S

hat wird durch

B

in eine Koordinatendarstellung in

B

verwandelt, der Vektor

v = (1,0) = 1 e_{1} + 0 \cdot e_{2}

wird in

w = (2, - 1) = 2 \cdot b_{1} - 1 \cdot b 2

leider ist in meinem post von gestern der letzte Absatz falsch
weder ist das Bild von

(1,0)

richtig noch B. zu meinem Basis

B

gehört

B = (\begin{matrix} 2 & - 1 \\ - 1 & 1 \end{matrix})

indem du es auf

e_{1}

und

e : 2

anwendest, kannst du es leicht sehen.
Gruß ledum

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