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Koordinatenform in Parameterform

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Vektor

Sunny123 aktiv_icon

19:11 Uhr, 01.07.2014

Hallo zusammen,

Folgende Ebene E: 2y+z-13=0 muss ich in die Parameterform umwandeln und bin folgendermaßen vorgegangen:

Auflösen nach z
2y+z-13=0
z=13-2y

y=s
y= 0 + s
z=13 + 2 s

E:

\vec{x}

(\begin{array}{rcl} 0 \\ 13 \end{array})

(\begin{array}{rcl} 1 \\ - 2 \end{array})

Was ist jetzt mit der x-Koordinate? Kann oder muss die wegbleiben? Könnte man auch E:

\vec{x}

(\begin{array}{rcl} 0 \\ 0 \\ 13 \end{array})

+ s *

(\begin{array}{rcl} 0 \\ 1 \\ - 2 \end{array})

schreiben?

Ich musste danach nämlich die Ebene mit einer Geradengleichung gleich setzen, welche eine x-Koordinate enthält. Ich habe dann einfach die x-Koordinate unbeachtet gelassen beim Rechnen.

Ich hoffe, ihr könnt mir helfen!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Parallelverschiebung
Rechnen mit Vektoren - Einführung
Rechnen mit Vektoren - Fortgeschritten
Skalarprodukt

Stephan4

20:27 Uhr, 01.07.2014

Wähle drei beliebige Punkte

A, B, C

der Ebene, also nicht ganz beliebig. Sie dürfen nicht auf einer Geraden liegen.

Zum Beispiel:

\vec{A} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 13 \end{matrix}) \vec{B} = (\begin{matrix} 5 \\ 1 \\ 11 \end{matrix}) \vec{C} = (\begin{matrix} 100 \\ 20 \\ - 27 \end{matrix})

Bilde daraus zwei Richtungsvektoren:

\vec{A B} = (\begin{matrix} 5 \\ 1 \\ - 2 \end{matrix}) \vec{A C} = (\begin{matrix} 100 \\ 20 \\ - 40 \end{matrix})

Kontrolliere, ob nicht der eine Vektor ein Vielfaches des anderen ist. Oh wie schade, der zweite ist das 20-fache des ersten.

A, B

und

C

liegen auf einer Geraden.

Nehmen wir ein anderes

C :

\vec{C} = (\begin{matrix} 0 \\ 20 \\ - 27 \end{matrix}) \Rightarrow \vec{A C} = (\begin{matrix} 0 \\ 20 \\ - 40 \end{matrix})

Jetzt passt es. Man kann jetzt noch die Richtungsvektoren kürzen, wenn man will.

\vec{A C} = (\begin{matrix} 0 \\ 20 \\ - 40 \end{matrix}) = 20 \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ - 2 \end{matrix})

Damit habe wir eine Parameterform gefunden:

\vec{X} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 13 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 5 \\ 1 \\ - 2 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ - 2 \end{matrix})

Kann das stimmen? Wählen wir ein beliebiges

s

und

t

.
Zum Beispiel:

s = 30, t = - 10

(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 13 \end{matrix}) + 30 \cdot (\begin{matrix} 5 \\ 1 \\ - 2 \end{matrix}) - 10 \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ - 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 150 \\ 20 \\ - 27 \end{matrix})

Passt nun dieser Punkt nun in die Ebene der Angabe?

2 \cdot 20 - 27 - 13 = 0

Passt.

Sunny123 aktiv_icon

21:43 Uhr, 01.07.2014

Danke für deine Antwort :-)
Die x-koordinate ist doch in der koordinatenform gar nicht gegeben. Wie kann man denn sagen, dass x =5 ist? Ist x nicht immer oder nicht vorhanden?

Stephan4

22:08 Uhr, 01.07.2014

Das liegt an der besonderen Lage der Ebene.
Sie schneidet die xy-Ebene in einer Geraden parallel zur x-Achse, und zwar

y = 6,5

.
Sie schneidet die xz-Ebene in einer Geraden parallel zur x-Achse, und zwar

z = 13

.

Kannst du dir das vorstellen?

wähle ein

y

und bestimme das

z

x

kann jeden Wert annehmen. Alle diese Punkte liegen in dieser Ebene.

Sunny123 aktiv_icon

23:04 Uhr, 01.07.2014

Dass die Ebene parallel zur x-Achse ist verstehe ich. Wir haben gelernt, dass die Ebene zu der Koordinatenachse parallel ist von der die Koordinate fehlt in der koordinatenform.
Aber warum parallel zur Y-Achse?

Stephan4

23:44 Uhr, 01.07.2014

Natürlich auch parallel zur x-Achse.
Habe mich verschrieben und den Fehler gleich dort ausgebessert.

Matlog aktiv_icon

02:04 Uhr, 02.07.2014

Wenn Du den von Dir zu Beginn eingeschlagenen Weg RICHTIG beschreiten willst:

x = t

y = s

z = 13 - 2 y = 13 - 2 s

E : \vec{x} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 13 \end{matrix}) + t (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + s (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ - 2 \end{matrix})

Sunny123 aktiv_icon

11:26 Uhr, 04.07.2014

Danke :-)

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