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Koordinatengeometrie

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Geometrie, Koordinaten

anonymous

14:21 Uhr, 08.08.2009

Hi, ich habe folgende Aufgabe , bei der ich wohl gut eure Hilfe gebrauchen könnte.

Die Punkte

A (0 | 4) B (0 | - 4)

und

C (- 4 | 6)

bilden ein rechtwinkliges Dreieck und sind zugleich Punkte des Kreises K.

Durch Spiegelung des Punktes

B

erhält man den Punkt D.

Berechnen sie die Koordinaten des Punktes D.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

anonymous

14:34 Uhr, 08.08.2009

Das Dreieck ACB ist garantiert nicht rechtwinkelig, wenn die Angaben A(0|4), B(0|-4) und C(-4|6) stimmen.

Woran soll der Punkt B gespiegelt werden?

Zu diesem Beitrag wurde eine digitale Zeichnung hinzugefügt:

Zeichnung betrachten

anonymous

14:45 Uhr, 08.08.2009

ups sry, ich muss eingestehen , dass ich mich vertan habe

C

war

(6 | - 4)

und

b

soll meinem verständnis nach an der strecke AC gespiegelt werden welche ebenfalls den durchmesser des kreises markiert

anonymous

15:26 Uhr, 08.08.2009

Achsenspiegelung mit AC als Spiegelachse. Dann wird ABCD ein Drachenviereck:

\vec{A C} = (\binom{6 - 0}{- 4 - 4}) = (\binom{6}{- 8})

m_{A C} = \frac{- 8}{6} = - \frac{4}{3}

A C : y = - \frac{4}{3} \cdot (x - 0) + 4

A C : y = - \frac{4}{3} x + 4

\tan α = - \frac{4}{3} \Leftrightarrow α \approx 126.87 °

(\binom{x_{D}}{y_{D}}) = (\begin{matrix} \cos (2 \cdot (126.87 °)) & \sin (2 \cdot (126.87 °)) \\ \sin (2 \cdot (126.87 °)) & - \cos (2 \cdot (126.87 °)) \end{matrix}) ⊙ (\binom{0}{- 4 - 4}) \oplus (\binom{0}{4})

(\binom{x_{D}}{y_{D}}) = (\begin{matrix} - 0.28 & - 0.96 \\ - 0.96 & 0.28 \end{matrix}) ⊙ (\binom{0}{- 8}) \oplus (\binom{0}{4})

(\binom{x_{D}}{y_{D}}) = (\binom{- 0.96 \cdot (- 8)}{0.28 \cdot (- 8) + 4}) = (\binom{7.68}{1.76})

\to D (7.68 ∣ 1.76)

Ich glaube es ist eher eine Punktspiegelung mit dem Kreismittelpunkt als Zentrum gemeint. Dann ist das Viereck ABCD ein Rechteck:

Der Kreismittelpunkt ist zugleich Mittelpunkt von [AC], wenn, wie du geschrieben hast,

\bar{A C}

der Kreisdurchmesser ist:

M (\frac{0 + 6}{2} ∣ \frac{4 - 4}{0})

M (3 ∣ 0)

(\binom{x_{D}}{y_{D}}) = (\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}) ⊙ (\binom{0}{- 4}) \oplus (\binom{2 \cdot 3}{2 \cdot 0})

(\binom{x_{D}}{y_{D}}) = (\binom{6}{4})

\to D (6 ∣ 4)

Ist das richtige dabei? Hast du Probleme, wie ich das gerechnet habe?

anonymous

15:36 Uhr, 08.08.2009

Hi, danke für deine Bemühungen, aber ich kenne mich mit Vektorrechnung leider überhaupt nicht aus, da wir etwas dergleichen nie behandelt haben.
Als ich in der 7. Klasse war (Gym) wurden bei uns völlig andere Themenbereiche erfasst.
Ich hoffe dennoch, dass ich deine Ausführungen, nach genauen Betrachten und Durchlesen verstehen werde.

anonymous

16:07 Uhr, 08.08.2009

Das ist eigentlich nur Abbildungsgeometrie mit Abbildungsgleichungen. Eigentlich braucht man nur die Abbildungsgleichungen, Vektoraddition (bei zweidimensionalen Vektoren und das Verknüpfen von 2x2-Matrizen mit zweidimensionalen Vektoren. Man kann die Gleichungen auch umstellen, sodass man keine Vektoren benötigt.

Ich hatte gedacht, dass du das evtl. verstehst, da ich das in der 10. Jahrgangstufe Realschule gelernt habe.

Es gibt auch noch andere Möglichkeiten.

Achsenspiegelung: Die Gleichung einer Gerade errechnen, welche senkrecht auf die Spiegelachse steht und durch den zu spiegelnden Punkt verläuft. Schnittpunkt der Geraden mit der Spiegelachse berechnen. Dann eine Punktspiegelung mit dem Schnittpunkt als Zentrum durchführen.

Punktspiegelung: Um ein kleines bisschen Vektoren kommst du nicht herum.(Brauchst du ja schon, wenn du die Steigung einer Geraden errechnen musst.)
Du du errechnest dir den Vektor, der vom Zentrum zum zum spiegelnden Punkt verläuft(

\vec{Z P} = (\binom{x_{P} - x_{Z}}{y_{P} - y_{Z}})

). Diesen drehst du um 180° (Vorzeichen bei x- und y-Koordinate drehen). Dann addierst du in zum (Ortsvektor des) Zentrums. Und bist beim Punkt den du suchst.

Was meinst du jetzt eigentlich, wenn du schreibst, ihr hattet keine Vektorrechnung. Du musst doch wohl zumindest folgendes im zweidimensionalen Raum können:
-Vektor zwischen zwei Punkten errechnen
-Zwei Vektoren addieren
-Gegenvektor (Drehung um 180°)
Das hatten wir schon in der 7. Klasse.

Jetzt zeige ich dir noch die Abbildunggleichung (ohne Matrix) für eine Punktspiegelung:
Spiegelzentrum:

(x_{Z} ∣ y_{Z})

Urpunkt:

(x ∣ y)

Bildpunkt:

(x ʹ ∣ y ʹ)

x ʹ = - 1 \cdot x + 2 x_{Z}

y ʹ = - 1 \cdot y + 2 y_{Z}

Damit müsstest du umgehen können.

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