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Koordinatengleichung

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Verständnis

juls1 aktiv_icon

19:47 Uhr, 04.10.2009

Hi Leute,
ich habe ein paar Probleme mit der Koordinatengleichung.
1. Wie kann ich die Gleichung aus 3 Punkten herleiten die eine Ebene beschreiben
und 2. kann ich mir die Koordinatengleichung noch nicht so wirklich vorstellen oder besser gesagt habe einen Knackpunkt in der Verständnisfrage..was natürlich nicht gerade optimal ist^^
Ich denke, wenn mir ein ganz bestimmter Punkt klar geworden ist, versehe ich die ganze Angelegenheit
Also:

Die Normalengleichung ist ja kein Problem.
Ich weiß, dass wenn ein Vektor zu einem anderen Vektor orthogonal steht, so ist das Skalarprodukt gleich 0.
Also ein Stützvektor(p) auf eine Ebende mit einem Vekor(x) zu einem Punkt

X

auf der Ebene ergeben multipliziert mit dem Normalenvektor(n), welcher senkrecht auf der Ebene steht uns somit auch senkrecht zu

(x - p)

gleich 0.

dann einsetzen

: [x - p] n = 0

So und jetzt fängt der Kuddelmuddel an^^:

Wenn ich die Gleichung ausmultipliziere dann steht das da
x⋅n-p⋅n=0
x⋅n=p⋅n

So, nehmen wir an die Ebene liegt auf der Höhe von

(0 | 0 | 1) (

also auf der

x 3

Achse bei 1 und ist mit der

x 1

und

x 2

Achse aufgespannt).

Wenn ich jetzt mir 2 Punkte der Ebene herausgreife

z . B

Q (5 | 8 | 1]

und

R (3 | - 6 | 1),

von denen die Vektoren nehme, Vektor (OQ) also Stützvektor der Ebene nehme = Vektor(p) und (OR) als Richtungsvektor auf der Ebende = Vektor(x) dann habe ich noch einen gleichbleibendene Normalenvektor welcher mit beiden multipliziert wird, dann kommt doch da nicht das gleiche heraus...

Weiter geht es mit der fertigen Koordinatengleichung:

x1⋅n1+x2⋅n2+x3⋅n3=p⋅n

(n)

wird ja einfach durch (a)

\to (a 1 | a 2 | a 3)

ersetzt.
P⋅n wird bei mir im Lehrbuch durch ein Skalarprodukt

(b)

ersetzt und egal welchen Punkt ich einsetze..es muss immer stimmen wenn der Punkt auf der Ebene liegen...
Was aber wenn ich für

,, b,,

eine andere Zahl einsetze..dann stimmt es doch auch nicht mehr...

So und vllcht kann mir noch einer langsam vorrechnen wie ich auf die Koordinatengleichung mit den Punkten

A (2 | 0 | 3), B (1 | - 1 | 5), C (3 | - 2 | 0)

komme

Ich weiß ich habe viel gefragt aber es ist echt dringend bei mir und wenn ich jetzt am Anfang schon nicht mehr mitkomme dann weiß ich nicht wie es am Ende sein wird...
Bitte helft mir und vielen Dank für jeden Post bzw. jede einfache und verständliche Erklärung^^

lg Jules

pleindespoir aktiv_icon

19:50 Uhr, 04.10.2009

zu1: Wie kann ich die Gleichung aus 3 Punkten herleiten die eine Ebene beschreiben ?

Du nimmst die allgemeine Ebenengleichung und setzt die drei bekannten Punkte in je eine Gleichung ein.

Dann bekommst Du eine Gleichungssystem aus drei Gleichungen und drei Unbekannten.

anonymous

20:11 Uhr, 04.10.2009

vielleicht willst dus etwas ausführlicher.
falls du sarrus noch nicht in der schule kennengelernt hast: vorsicht bei klausur

⊙ k

juls1 aktiv_icon

23:21 Uhr, 05.10.2009

Erst mal vielen Dank für die Antwortet. Den Satz hatten wir noch nicht, deshalb werde ich ihn warscheinlich auch nicht anwenden...
Kann mir vielleicht noch jemand mir meinen Denkfehler bei diesem Teil aufklären:

So und jetzt fängt der Kuddelmuddel an^^:

Wenn ich die Gleichung ausmultipliziere dann steht das da
x⋅n-p⋅n=0
x⋅n=p⋅n

So, nehmen wir an die Ebene liegt auf der Höhe von

(0 | 0 | 1) (

also auf der

x 3

Achse bei 1 und ist mit der

x 1

und

x 2

Achse aufgespannt).

Wenn ich jetzt mir 2 Punkte der Ebene herausgreife

z . B

Q (5 | 8 | 1]

und

R (3 | - 6 | 1),

g-zen aktiv_icon

13:36 Uhr, 12.10.2009

zunächst einmal: Wenn die Ebene auf Höhe

(0 | 0 | 1)

beginnt, ist das der Stützvektor. Die beiden Richtungen, die die Ebene aufspannen, sind die Richtungsvektoren. Für die Richtungsvektorn muss jeweils der Stützvektor von den Punkten

Q

und

R

abgezogen werden (anschaulich: Die Höhe 1 hast du durch den Stützvektor ja schon erreicht!)
Dies wird in der Punkt-Richtungs-Form (auch Parameterform) einer Ebenengleichung ausgedrückt:

E : (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 5 \\ 8 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 3 \\ - 6 \\ 0 \end{matrix})

Für die Normalenform muss der Normalenvektor senkrecht auf BEIDEN RICHTUNGSsvektoren stehen (nicht auf Stütz-und Richtungsvektor)
Also gilt das Skalarprodukt so:

\vec{n} \cdot (\begin{matrix} 5 \\ 8 \\ 0 \end{matrix}) = 0

und

\vec{n} \cdot (\begin{matrix} 3 \\ - 6 \\ 0 \end{matrix}) = 0

Das geht, denn man kann das Skalarprodukt auch so schreiben:

5 n_{1} + 8 n_{2} (+ 0 \cdot n_{3}) = 0

und genauso für den anderen Vektor.
Also ergeben sich zwei Gleichungen mit den Unbekannten

n_{1}

und

n_{2},

und es gibt hier einen eindeutigen Normalenvektor!

Die Gleichung, die du notiert hast

\vec{x} \cdot \vec{n} = \vec{p} \cdot \vec{n}

führt dich dann zur Koodinatenform. Auf der linken Seite gibt

\vec{x}

jeden beliebigen Vektor der Ebene an (auch, aber nicht nur einen Stützvektor),

\vec{n}

ist der Normalenvektor. Ausmultipliziert ergibt sich

n_{1} \cdot x_{1} + n_{2} \cdot x_{2} + n_{3} \cdot x_{3}

. Rechts steht eine einfache Zahl (ausmultipliziertes Skalar).

Übrigens kann man aus der Koordinatenform sehr leicht im Kopf die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) bestimmen, dann hast du eine bessere Vorstellung davon, wie die Ebene im Koordinatensystem liegt. Dazu setzt man jeweils zwei Koordinaten Null und löst die Gleichung nach der übrig bleibenden auf. Das Ergebnis gibt den Spurpunkt auf der jeweiligen Achse an. Wenn eine Koordinate fehlt, heißt dass, dass die Ebene parallel zu dieser Achse verläuft, wie in deinem Beispiel, wo du eine Ebene parallel zu

x_{1}

und

x_{2}

-Achse gewählt hast. Dort gibt es nur einen einzigen Spurpunkt bei

x_{3} = 1

juls1 aktiv_icon

16:52 Uhr, 12.10.2009

Vielen vielen Dank!
Jetzt habe ich es verstanden^^

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