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Koordinatengleichung einer Ebene
Schüler Gymnasium,
Tags: eben, Koordinatengleichung, senkrecht
 
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Hallo, ich bin gerade dabei, die letzte verpasste Woche nachzuarbeiten, aber irgendwie kann ich mir eine Lösung einer Aufgabe nicht ganz erschließen, und zwar: Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene die senkrecht auf der xy-Ebene steht und die z-Achse enthält. Eine Lösung ist: Dass sein muss, liegt ja daran, dass die Ebene senkrecht auf der xy-Ebene stehen muss, . man hat ja hier . B. den Normalenvektor Apropos: Wie funktioniert hier die Vektorenschreibweise? Aber warum muss das Ganze dann 0 ergeben? Eigentlich geht es doch nur darum, dass jeder Punkt, der auf der z-Achse liegt, diese Gleichung erfüllt. Da aber 0 ist, könnte man doch auch theoretisch die Gleichung nehmen, oder? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.) |
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Die -Achse besteht aus den Punkten der Form . In der Ebene liegen sie offensichtlich nicht. |
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Hier sechs Beispielebenen von unendlich vielen Möglichkeiten |
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Wenn man dann aber . B. hat und und it, dann hätte man ja den Punkt . Dann wäre dies doch auch kein Punkt der Form |
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Es sagt ja auch niemand, dass alle Punkte in der ebene auch auf der z-Achse liegen müssen |
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Eine allgemeine Ebene, die -Achse enthält, hat die Gleichung , sind beliebig, dürfen nur nicht beide sein. Alle diese Ebenen sind senkrecht zur -Ebene. |
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Das heißt also, dass auf der einen Seite des Gleichheitszeichens eine 0 stehen muss, da die Gleichung sonst nicht für die auf der z-Achse liegenden Punkte erfüllt ist? |
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Ja, so ist es. |
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Ok, vielen Dank! Aber dann zur Sicherheit nochmal zu meinem ersten Schritt: Die Ebenengleichung der xy-Ebene ist ja .h.als Normalenverktor der xy-Ebene hat man ja . Senkrecht darauf steht ja dann der Vektor . Der Lösungsansatz ist so auch korrekt, oder? |
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Jeder Vektor der Form steht senkrecht zu . Deshalb passt ja jede der Ebenen . |
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Ja, klar. Nur fand ich es gerade, als ich nohmal darüber nachgedacht habe, ungewöhnlich, dass man quasi den Normalenvektor des Normalenvektors der xy-Ebene nimmt, damit die gesuchte Ebene senkrecht auf der xy-Achse steht. Könntest du das bitte kurz einmal noch erläutern? |
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Die Bedingung "senkrecht zu -Ebene" ist überflüssig, denn jede Ebene, welche die -Achse enthält, steht automatisch senkrecht zur -Ebene. Zwei Ebenen sind genau dann senkrecht, wenn ihre Normalenvektoren orthogonal zueinander sind. |
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Ok, ja danke. Ich habe mir das mal geometrisch vorgestellt und es ist alles geklärt. Vielen Dank euch beiden! |
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