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Koordinatentransformation

Universität / Fachhochschule

Tags: 3D Koordinaten, Koordinatentransformation, Rotationsmatrix

miiiWeee aktiv_icon

10:48 Uhr, 04.12.2019

Hallo,

ich habe mehrere Punkte in einem X, Y, Z Koordinatensystem.

P1:

(\begin{array}{rcl} - 787 \\ 64 \\ 524 \end{array})

mit

ω

=-170°,

φ

= 80°,

κ

= -8°

P2:

(\begin{array}{rcl} - 760 \\ 50 \\ 510 \end{array})

mit

ω

=-160°,

φ

= 90°,

κ

= -12°

P3:

(\begin{array}{rcl} - 720 \\ 80 \\ 560 \end{array})

mit

ω

=-160°,

φ

= 40°,

κ

= -2°

Ansatz:

Erstellen einer Rotationsmatrix:

R

= R

ω

φ

κ

Aus dieser dann die Inverse erstellen (Passive Drehung?!)

(\begin{array}{rcl} x \\ y \\ z \end{array})

[R]

(\begin{array}{rcl} X \\ Y \\ Z \end{array})

(\begin{array}{rcl} X_{P} 1 \\ Y_{P} 1 \\ Z_{P} 1 \end{array})

Leider komme ich da auf keine plausiblen Ergebnisse. Ich denke ich habe da schon den falschen Ansatz gewählt.
Würde mich über Tipps und Hilfestellungen sehr freuen.

Mit freundlichen Grüßen

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

maxsymca

11:41 Uhr, 04.12.2019

Was soll uns das sagen

P_{i}

mit ω =-170°, φ = 80°, κ = -8°

Rotation um was?

www.geogebra.org/m/BpqJ28eP#material/c6Q7gDmC
www.geogebra.org/m/BpqJ28eP#material/fdmmvvma

miiiWeee aktiv_icon

12:13 Uhr, 04.12.2019

Hallo,

κ

ist die Drehung um die Z-Achse

φ

ist die Drehung um die Y-Achse

ω

ist die Drehung um die X-Achse

von einem Körper der sich jeweils in den Punkten P1, P2, P2 befindet

maxsymca

12:47 Uhr, 04.12.2019

In einem Punkt befindet sich nix...

OK, also in der Reihenfolge x-,y-,z- Achse

R_{z y x} := (\begin{array}{rrr} c o s (\frac{2}{45} π) & s i n (\frac{2}{45} π) & 0 \\ - s i n (\frac{2}{45} π) & c o s (\frac{2}{45} π) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}) (\begin{array}{rrr} c o s (\frac{4}{9} π) & 0 & s i n (\frac{4}{9} π) \\ 0 & 1 & 0 \\ - s i n (\frac{4}{9} π) & 0 & c o s (\frac{4}{9} π) \end{array}) (\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & - s i n (\frac{4}{9} π) & c o s (\frac{4}{9} π) \\ 0 & - c o s (\frac{4}{9} π) & - s i n (\frac{4}{9} π) \end{array})

(\begin{array}{rrr} 0.15 & - 0.14 & 0.98 \\ - 0.19 & - 0.98 & - 0.11 \\ 0.97 & - 0.17 & - 0.17 \end{array}) P_{1} = (\begin{array}{r} 387.84 \\ 33.71 \\ - 863.99 \end{array})

und was soll das mit der Inversen und was ist eine passive Drehung...

Matrizen unter den Links nachlesen...

miiiWeee aktiv_icon

14:35 Uhr, 04.12.2019

Der Mittelpunkt des Körpers befindet sich in dem Punkt. der Köper hat Rotationen in x,y,z Richtung.

ich würde P1 gerne auf

(\begin{array}{rcl} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array})

setzen und dann die neuen Koordinaten von P2 & P3 bestimmen.

Ich habe leicht andere Rotationsmatrixen für x und y.

R_{x}

(\begin{array}{rcl} 1 & 0 & 0 \\ 0 & c o s & - s i n \\ 0 & s i n & c o s \end{array})

R_{y}

(\begin{array}{rcl} c o s & 0 & s i n \\ 0 & 1 & 0 \\ - s i n & 0 & c o s \end{array})

R_{z}

(\begin{array}{rcl} c o s & - s i n & 0 \\ s i n & c o s & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})

Die Links lese ich mir jetzt mal durch. Danke!
Ich hatte mal gelesen das bei einer Transformation des Koordinatenursprungs die Inverse benutzt.

maxsymca

15:42 Uhr, 04.12.2019

Das sind Matrizen der speziellen von Dir gegebenen Winkel, da vereinfacht das CAS gerne mal die sin/cos Werte - die Grundformen sind gleich.

Wenn Du den KO-Ursprung verschieben willst ist das eine affine Transformation
www.geogebra.org/m/fbrerhcs
also Translation und die Rotation als Abbildung.

In der im Link verwendeten Notation müssen die Indizes der Basen aufeinander treffen und Du musst Basisvektoren

K = {_{K} e 1,_{K} e 2,_{K} e 3} =_{E} T_{K}

für den neuen Ursprung definieren. Für diese Matrix benötigt man die Inverse um die Basistransformation zu berechnen (nicht für die Rotationsmatrizen).

In homogenen Koordinaten rechnet es sich einfacher, weil alles in Matrizen abgewicklet werden kann.
www.geogebra.org/m/akdx83hr

miiiWeee aktiv_icon

20:09 Uhr, 06.12.2019

Danke! ich habe jetzt eine homogene Matrix erstellt die meine Roation ( omega, phi, kappa von P1) und die Translation enthält.

H =

(\begin{array}{rcl} R 11 & R 12 & R 13 & 787 \\ R 21 & R 22 & R 23 & - 64 \\ R 31 & R 32 & R 33 & - 524 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array})

Wenn ich diese jetzt mit meinem P1

(\begin{array}{rcl} - 787 \\ 64 \\ 524 \\ 1 \end{array})

multipliziere sollte P1 doch mein neuer Ursprung

(\begin{array}{rcl} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array})

sein?! Leider kommt das nicht raus.

Das mit der Inverse hab ich nicht ganz verstanden? Wovon brauche ich die und wofür?

Gruß

maxsymca

23:31 Uhr, 06.12.2019

Ich glaube da geht was durcheinander....

Wenn Du um die Koordinatenachsen drehst, dann brauchst Du keine Translation. Du boselst die Drehmatrix R = Rx Ry Rz zusammen (in welcher Reihenfolge soll eigentlich gedreht werden) und dann kannst Du Deinen Punkt abbilden: R P1 = P1'
Fertisch.

Wenn Du um eine beliebige Raumachse drehen willst, baust Du eine Drehmatrix Rv aus dem Achsenvektor v, dann musst Du den Urbildpunkt E in den Ursprung verschieben T(-1), Drehen Rv und wieder zurück schieben T(1). In homogenen KO: T(1) Rv T(-1) E

Wenn Du eine KO-Transformation machen willst, dann brauchst Du einen neuen KO-Ursprung O

u n d

die dazugehörigen Basisvektoren b ===> Basistransformationsmatrix T (und T^-1) - da ist aber von Dir noch nix festgelegt worden. Wenn Du mit 2 Basisvarianten arbeiten willst ist eine exakte Buchführung notwendig in welcher Basis Du Dich bewegst

_{b} O = (0, 0, 0)

in der neuen Basis oder

_{e} O = (o_{1}, o_{2}, o_{3})

in der Standardbasis e...

miiiWeee aktiv_icon

13:23 Uhr, 07.12.2019

Hey,

gedreht wird in der Reihenfolge z,y,z.
Also wenn ich das richtig verstanden habe ist hat mein alte Basis

A

, geschrieben in homogenen Koordinaten und als vierte Spalte Ursprung

(0; 0; 0)^{T}

A =

(\begin{array}{rcl} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array})

mein neue Basis

B

enthält die Rotation als Basisvektoren den Ursprung

{(\begin{array}{rcl} - 787; 64; 524 \end{array})}^{T}

P1 aus

A

B =

(\begin{array}{rcl} R 11 & R 12 & R 13 & - 787 \\ R 21 & R 22 & R 23 & 64 \\ R 31 & R 32 & R 33 & 524 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array})

Wenn ich jetzt P2 in meinem KS

B

haben möchten:

\Rightarrow

P 2_{B}

B^{- 1}

P 2_{A}

und so wäre

P 1_{B}

B^{- 1}

P 1_{A}

(\begin{array}{rcl} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array})

Gruß

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