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Koordinatentupel berechnen

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: Matrizenrechnung

simplyme aktiv_icon

00:54 Uhr, 20.02.2018

Hallo,
ich habe da eine Aufgabe vor mir liegen und weiß nicht genau was zu tun ist.
In der Ebene

ℝ^{2}

sei

g

die Gerade mit der Gleichung

x_{12} = 2 x_{1}

und

σ

die Spiegelung an dieser Geraden. Wir betrachten die Basis

B : b_{1} = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix}), b_{2} = (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \end{matrix})

und die Standardbasis E.
Berechnen Sie

á.)

B σ (b_{1})

Die Lösung ist

(\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})

b

.)Berechnen Sie

B σ B

Hier ist die Lösung

(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix})

c .)

Berechnen Sie

E σ (b_{1})

Die Lösung ist

(\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix})

d .)

Berechnen Sie

E σ E

Die Lösung ist

(\begin{matrix} - \frac{3}{5} & \frac{4}{5} \\ \frac{4}{5} & \frac{3}{5} \end{matrix})

Wie komme ich auf die ganzen Lösungen. Wie muss ich vorgehen, angefangen bei

a .)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

07:23 Uhr, 20.02.2018

Hallo,

> Wie muss ich vorgehen, angefangen bei a.)

Mach dir eine Skizze. Zeichne ein 2D-Koordinatensystem (übrigens am besten in der Standardbasis

E

).
Zeichne darin die Gerade und vielleicht mit einer anderen Farbe die Basisvektoren von

B

. Sie bilden ja ebenfalls ein Koordinatensystem.

Dann musst du dir klar werden, was die Schreibweise

B σ (b_{1})

bedeuten soll. (Soll das vielleicht eher

_{B} σ (b_{1})

geschrieben sein?)

Dann wären wir bei a) angekommen, und du kannst aus der Zeichnung ablesen, was

B σ (b_{1})

ist.
Vielleicht hilft dir, dir zu überlegen, was

σ (b_{1})

ist?!

Machen wir erst einmal bis hier, scheint schwierig genug.

Mfg Michael

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14:33 Uhr, 20.02.2018

Zeichne ich die Gerade so indem ich in die Gleichung

x_{2} = 2 x_{1}

Werte einsetze

z . B

für

x_{1} = 1

kommt für

x_{2} = 2 \cdot 1

raus. Und

z . b

. für

x_{1} = 2

kommt

x_{2} = 2 \cdot 2 = 4

raus. Und verbinde dann die Punkte. Und die Basen sind dann die Punkte

(1,0)

und

(2, - 1)

. Wie muss ich dann fortfahren?

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14:33 Uhr, 20.02.2018

Zeichne ich die Gerade so indem ich in die Gleichung

x_{2} = 2 x_{1}

Werte einsetze

z . B

für

x_{1} = 1

kommt für

x_{2} = 2 \cdot 1

raus. Und

z . b

. für

x_{1} = 2

kommt

x_{2} = 2 \cdot 2 = 4

raus. Und verbinde dann die Punkte. Und die Basen sind dann die Punkte

(1,0)

und

(2, - 1)

. Wie muss ich dann fortfahren?

simplyme aktiv_icon

14:34 Uhr, 20.02.2018

Zeichne ich die Gerade so indem ich in die Gleichung

x_{2} = 2 x_{1}

Werte einsetze

z . B

für

x_{1} = 1

kommt für

x_{2} = 2 \cdot 1

raus. Und

z . b

. für

x_{1} = 2

kommt

x_{2} = 2 \cdot 2 = 4

raus. Und verbinde dann die Punkte. Und die Basen sind dann die Punkte

(1,0)

und

(2, - 1)

. Wie muss ich dann fortfahren?

simplyme aktiv_icon

14:35 Uhr, 20.02.2018

Wie zeichne ich die Basen ein?

ledum aktiv_icon

19:45 Uhr, 20.02.2018

Hallo
natürlich kann man geraden immer durch 2 Punkte legen aber eigentlich solltest du direkt die Steigung sehen und damit von 0 aus eintragen.
wie man Vektoren von 0 aus anträgt ist doch hoffentlich klar.

b_{1}

geht von

(0,0)

nach

(1,2) b_{2}

von

(0,0)

nach

(2, - 1)

also senkrecht auf

b_{1}

Gruß ledum

simplyme aktiv_icon

21:08 Uhr, 20.02.2018

Ok wenn ich jetzt alles ins Koordinatensystem eingetragen habe, wie geht es nun weiter. Wie spiegele ich jetzt die Basen an der Gerade?

ledum aktiv_icon

21:32 Uhr, 20.02.2018

Hallo
da danach gefragt ist solltest du wohl. warum liest du nicht einfach die Fragen und beantwortest sie per Zeichnung?
Gruß ledum

simplyme aktiv_icon

22:41 Uhr, 21.02.2018

Ich stehe leider noch immer auf dem Schlauch. Was bedeutet überhaupt dieses

B \cdot Σ (b 1)

. Und was ist der Unterschied zu

E \cdot Σ (b 1)

????
Und was bedeutet dieses

B φ B

und

E φ E

. Ich hab im Skript nachgeschaut, aber irgendwie steht nirgends was genau das ist.

ledum aktiv_icon

12:31 Uhr, 22.02.2018

Hallo

σ (b_{1})

ist vorher dfiniert als Spiegelung an der gegebenen Geraden.

B

davor sagt, man soll das Ergebnis in der Basis

B

angeben,

E

davor in der Basis

E

wie man spiegelt solltest du eigentlich wissen: von einem Punkt senkrecht auf die Gerade und dann daselbe Stück auf der anderen Seite. Punkte auf der Geraden gehen dabei natürlich in sich selbst.
Gruß ledum

simplyme aktiv_icon

16:02 Uhr, 22.02.2018

Ich verstehe jetzt immer noch nicht ganz, warum bei

B \cdot σ (b_{1})

der Punkt normal gespiegelt werden kann, aber bei

E \cdot σ (b_{1})

bleibt der Punkt auf sich selbst? Wenn ich jetzt

B \cdot σ (b_{1}) = (- 1, 0)

durch das gezeichnete Koordinatensystem gefunden habe, wie komme ich jetzt auf

E \cdot σ (b_{1})

ledum aktiv_icon

16:36 Uhr, 22.02.2018

Hallo

b_{1}

liegt doch auf der Geraden? also wird

b_{1}

in sich selbst gespiegelt in der Basis

E

ist

b_{1} = (1,2)

in der Basis

B

ist

b_{1} = 1 \cdot b_{1} + 0 \cdot b_{2}

also

(1,0)

der Vektor

(3,1) \in E

ist

(1,1) \in B

wegen

1 \cdot b_{1} + 1 \cdot b_{2}

die Komponentenschreibweise eines Vektors sind die Komponenten in richtug der basisvektoren.
Gruß ledum

simplyme aktiv_icon

15:02 Uhr, 24.02.2018

Und wenn ich jetzt

B \cdot σ (b 2)

haben möchte, muss ich dann machen:
Also wenn man

(2, - 1)

spiegelt an der Geraden

x_{2} = 2 \cdot x_{1}

bekommt man

(- 2,1)

Nun muss man das noch als Linearkombination aus den Basen von

B

schreiben

(\begin{matrix} - 2 \\ 1 \end{matrix}) = a \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix}) + b \cdot (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \end{matrix})

Man erhält

a = 0

und

b = - 1

Also ist

B \cdot σ (b 2) = (\begin{matrix} 0 \\ - 1 \end{matrix})

Und

E \cdot σ (b_{2}) = (\begin{matrix} - 2 \\ 1 \end{matrix})

Stimmt das so? Wie bekomme ich

E \cdot φ \cdot E

heraus?

ledum aktiv_icon

23:13 Uhr, 24.02.2018

du spiegelst

e_{1}

und

e_{2}

an der Geraden, das sind dann die Spalten deiner Matrix, denn

E

besteht ja aus den 2 Spalten

e_{1}, e_{2}

der Rest ist richtig.
dass du mal

σ,

mal

φ,

mal

a, b,

mal

b_{1}, b_{2}

verwendest ist nicht gerade hilfreich!
Gruß ledum

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