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Koordinatenvektor, Matrixdarstellung

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Tags: basis, Koordinatenvektor, Lineare Abbildungen, Matrixdarstellung, polynom, Standardbasis

bartekboy aktiv_icon

12:44 Uhr, 25.11.2014

Aufgabenstellung im Bild.
Komme mit dem Thema überhaupt nicht klar, könnt ihr mir das Schritt für Schritt erklären wie man zu diesen Lösungen kommt.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Logarithmusgesetze - Einführung
Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Einführung

DrBoogie aktiv_icon

10:59 Uhr, 27.11.2014

8.
Koordinaten eines Vektors $v$ in einer Basis $e_{1}, e_{2}, e_{3}$ sind die Zahlen $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ aus der Darstellung $v = a_{1} e_{1} + a_{2} e_{2} + a_{3} e_{3}$ .
In dieser Aufgabe ist $v = - 5 X^{2} + 3 X - 7$ und $e_{1} = 1$ , $e_{2} = X - 1$ , $e_{3} = X^{2} - X$ .
Also muss man eine Darstellung $- 5 X^{2} + 3 X - 7 = a_{1} \cdot 1 + a_{2} (X - 1) + a_{3} (X^{2} - X)$ suchen und daraus $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ bestimmen.
$a_{1} \cdot 1 + a_{2} (X - 1) + a_{3} (X^{2} - X)$ kann man so umformen:
$a_{1} \cdot 1 + a_{2} (X - 1) + a_{3} (X^{2} - X) = a_{3} X^{2} + (a_{2} - a_{3}) X + (a_{1} - a_{2})$ .
Also muss gelten $- 5 X^{2} + 3 X - 7 = a_{3} X^{2} + (a_{2} - a_{3}) X + (a_{1} - a_{2})$ .
Durch Koeffizientenvergleich (Koeffizienten bei gleichen Potenzen müssen gleich sein) bekommen: $a_{3} = - 5, a_{2} - a_{3} = 3, a_{1} - a_{2} = - 7$ .
Also $a_{3} = - 5$ , $a_{2} = 3 + a_{3} = - 2$ , $a_{1} = - 7 + a_{2} = - 9$ .
Somit der Koordinatenvektor $(a_{1}, a_{2}, a_{3}) = (- 9, - 2, - 5)$ .

DrBoogie aktiv_icon

11:25 Uhr, 27.11.2014

9.
a) Wenn $A, B$ zwei Basen in $V$ sind und $φ$ eine Abbildung $V \to V$ , dann
ist die Matrix $φ_{A, B}$ ( $A$ muss links stehen, aber ich kenne diesen Latex-Befehl nicht ) so definiert: die Spalten dieser Matrix sind die Koordinatenvektoren von $φ (e_{j})$ bzgl. Basis $B$ ,
wo $e_{j}$ - Elemente von Basis $A$ sind. Dadurch ist erreicht, dass für jedes $v$ gilt $φ_{A, B} v_{A} = φ (v)_{B}$ , wo $v_{A}$ -
der Koordinatenvektor von $v$ bzgl. der Basis $A$ und $φ (v)_{B}$ - der Koordinatenvektor von $φ (v)$ bzgl. der Basis $B$ .
In dieser konkreten Aufgabe gilt $A = B = E = {e_{1} = (1, 0), e_{2} = (0, 1)}$ - Standardbasis.
Für die Matrix brauchen wir also $φ ((1, 0))$ und $φ ((0, 1)$ in dieser Basis. $φ ((0, 1)$ ist angegeben, $φ ((1, 0))$ kann man
so berechnen: $φ ((1, 0))$ = $φ ((1, 1)) - φ ((0, 1)) = (3, - 3) - (1, - 2) = (2, - 1)$ .
Also $φ ((1, 0)) = (2, - 1) = 2 (1, 0) - 1 \cdot (0, 1) = 2 e_{1} - 1 \cdot e_{2} = > (2, - 1)$ ist der gesuchte Koordinatenvektor alias 1. Spalte der Matrix.
$φ ((0, 1) = (1, - 2) = 1 \cdot (1, 0) - 2 (0, 1) = 1 \cdot e_{1} - 2 e_{2} = > (1, - 2)$ ist der gesuchte Koordinatenvektor alias 2. Spalte der Matrix

b) einfache Matrixmultiplikation

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