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Koordinatenvektor eines Polynoms bezüglich Basis

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Tags: Sonstig

an1212 aktiv_icon

18:15 Uhr, 27.11.2016

Hallo,

ich komme an einer Aufgabe gerade nicht ganz weiter.

Ich soll einen Koordinatenvektor des Polynoms $p (x) = (- x - 1) (2 - 5 x) - 5 x$ bezüglich der Basis $C : {(1 - x)}^{2}, 2 x (1 - x), x^{2}$ bestimmen.

Mein Ansatz war, die Basis erstmal umzuschreiben, sodass $a_{1} = x^{2} - 2 x + 1$ und $a_{2} = 2 x - 2 x^{2}$ und $a 3 = x^{2}$ sind. Damit habe ich versucht das Polynom (welches ich zu $5 x^{2} - 2 x - 2$ ausmultipliziert habe) schrittweise über die Koeffizienten von $a_{1}, a_{2}$ und $a_{3}$ herauszubekommen. Allerdings komme ich da nur auf
$r_{1} = - 2$
$r_{2} = - 1$
$r_{3} = 5$
was mir dann aber addiert $5 x^{2} + 2 x - 2$ herausgibt. Somit kann ich ja nicht wirklich auf die $- 2 x$ im Polynom kommen. Wie gehe ich da richtig vor?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)

michaL aktiv_icon

18:29 Uhr, 27.11.2016

Hallo,

kurzer Weg:
Multipliziere $p$ aus lies nacheinander und aufsteigend nach kleinstem Grad die Koeffizienten ab.

Erläuterung: Auch ohne weitere Rechnung sieht man nach dem Ausmultiplizieren, dass die Komponente des Polynoms $(- x - 1) (2 - 5 x) - 5 x = - 2 - 2 x + 5 x^{2}$ in Richtung $(x - 1)^{2} = x^{2} - 2 x + 1$ gerade gleich -2 sein muss.
Vielleicht kannst du dir selbst überlegen, warum!

Langer Weg (Standard):
Setze für die Koeffizienten/Komponenten Variablen ein, stelle ein lineares Gleichungssystem (3x3) auf und löse dieses.

Ohne deinen Rechenweg zu sehen, kann ich nicht sagen, wo du dich verrechnet hast. Allerdings erscheint mir $r_{3}$ falsch. (Habe aber nur im Kopf gerechnet und will dafür nicht die Hand ins Feuer legen.)

Mfg Michael

an1212 aktiv_icon

18:45 Uhr, 27.11.2016

So wie du das jetzt unter "kurzer Weg" geschrieben hast, wäre das für $5 x^{2} - 2 x - 2$ ja dann $C^{P} : (\begin{matrix} - 2 \\ - 2 \\ 5 \end{matrix})$ .
Allerdings bringt mir das ja nun wenn ich $r_{1} = - 2; r_{2} = - 2$ und $r 3 = 5$ in die $r_{1} \cdot a_{1} + r_{2} \cdot a_{3} + r_{3} \cdot a_{3}$ einsetze nicht mehr mein Polynom, sondern $7 x^{2} - 2$ .

michaL aktiv_icon

18:53 Uhr, 27.11.2016

Hallo,

ok, wenn ich $r_{1} = - 2$ einsetze, dann ergibt $p (x) - r_{1} \cdot (x^{2} - 2 x + 1) = - 2 - 2 x + 5 x^{2} - (- 2) (1 - 2 x + x^{2}) = - 6 x + 7 x^{2}$ .
Daraus schließe ich, dass $r_{2} = - 3$ der Koeffizient von $2 x - 2 x^{2}$ ist.
So, nun aber. Berechne die dritte Komponente, versuche dieses Extremsteinfach-Beispiel zu verstehen und vor allem: Gehe auch den Standardweg. Denn: Wären die Basisvektoren weniger übersichtlich gestaltet, dann könnte man die Lösung nicht "sehen".

Mfg Michael

an1212 aktiv_icon

19:07 Uhr, 27.11.2016

Das heißt jetzt also, dass meine Lösung für $C^{P}$ dann $(\begin{matrix} - 2 \\ - 3 \\ 1 \end{matrix})$ ist, oder? In dem Fall werde ich wohl noch etwas mehr die Grundlagen davon anschauen müssen.

michaL aktiv_icon

19:13 Uhr, 27.11.2016

Hallo,

schaut gut aus. (Allerdings ohne Stift und Papier)

Mfg Michael

an1212 aktiv_icon

19:24 Uhr, 27.11.2016

Sehr gut, vielen Dank dir!
Dann werde ich mir das nochmal genauer anschauen.

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