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Koordinatenvektor eines Polynoms bezüglich Basis

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Tags: Sonstig

an1212 aktiv_icon

18:15 Uhr, 27.11.2016

Hallo,

ich komme an einer Aufgabe gerade nicht ganz weiter.

Ich soll einen Koordinatenvektor des Polynoms

p (x) = (- x - 1) (2 - 5 x) - 5 x

bezüglich der Basis

C : {(1 - x)}^{2}, 2 x (1 - x), x^{2}

bestimmen.

Mein Ansatz war, die Basis erstmal umzuschreiben, sodass

a_{1} = x^{2} - 2 x + 1

und

a_{2} = 2 x - 2 x^{2}

und

a 3 = x^{2}

sind. Damit habe ich versucht das Polynom (welches ich zu

5 x^{2} - 2 x - 2

ausmultipliziert habe) schrittweise über die Koeffizienten von

a_{1}, a_{2}

und

a_{3}

herauszubekommen. Allerdings komme ich da nur auf

r_{1} = - 2

r_{2} = - 1

r_{3} = 5

was mir dann aber addiert

5 x^{2} + 2 x - 2

herausgibt. Somit kann ich ja nicht wirklich auf die

- 2 x

im Polynom kommen. Wie gehe ich da richtig vor?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)

michaL aktiv_icon

18:29 Uhr, 27.11.2016

Hallo,

kurzer Weg:
Multipliziere

p

aus lies nacheinander und aufsteigend nach kleinstem Grad die Koeffizienten ab.

Erläuterung: Auch ohne weitere Rechnung sieht man nach dem Ausmultiplizieren, dass die Komponente des Polynoms

(- x - 1) (2 - 5 x) - 5 x = - 2 - 2 x + 5 x^{2}

in Richtung

(x - 1)^{2} = x^{2} - 2 x + 1

gerade gleich -2 sein muss.
Vielleicht kannst du dir selbst überlegen, warum!

Langer Weg (Standard):
Setze für die Koeffizienten/Komponenten Variablen ein, stelle ein lineares Gleichungssystem (3x3) auf und löse dieses.

Ohne deinen Rechenweg zu sehen, kann ich nicht sagen, wo du dich verrechnet hast. Allerdings erscheint mir

r_{3}

falsch. (Habe aber nur im Kopf gerechnet und will dafür nicht die Hand ins Feuer legen.)

Mfg Michael

an1212 aktiv_icon

18:45 Uhr, 27.11.2016

So wie du das jetzt unter "kurzer Weg" geschrieben hast, wäre das für

5 x^{2} - 2 x - 2

ja dann

C^{P} : (\begin{matrix} - 2 \\ - 2 \\ 5 \end{matrix})

.
Allerdings bringt mir das ja nun wenn ich

r_{1} = - 2; r_{2} = - 2

und

r 3 = 5

in die

r_{1} \cdot a_{1} + r_{2} \cdot a_{3} + r_{3} \cdot a_{3}

einsetze nicht mehr mein Polynom, sondern

7 x^{2} - 2

michaL aktiv_icon

18:53 Uhr, 27.11.2016

Hallo,

ok, wenn ich

r_{1} = - 2

einsetze, dann ergibt

p (x) - r_{1} \cdot (x^{2} - 2 x + 1) = - 2 - 2 x + 5 x^{2} - (- 2) (1 - 2 x + x^{2}) = - 6 x + 7 x^{2}

.
Daraus schließe ich, dass

r_{2} = - 3

der Koeffizient von

2 x - 2 x^{2}

ist.
So, nun aber. Berechne die dritte Komponente, versuche dieses Extremsteinfach-Beispiel zu verstehen und vor allem: Gehe auch den Standardweg. Denn: Wären die Basisvektoren weniger übersichtlich gestaltet, dann könnte man die Lösung nicht "sehen".

Mfg Michael

an1212 aktiv_icon

19:07 Uhr, 27.11.2016

Das heißt jetzt also, dass meine Lösung für

C^{P}

dann

(\begin{matrix} - 2 \\ - 3 \\ 1 \end{matrix})

ist, oder? In dem Fall werde ich wohl noch etwas mehr die Grundlagen davon anschauen müssen.

michaL aktiv_icon

19:13 Uhr, 27.11.2016

Hallo,

schaut gut aus. (Allerdings ohne Stift und Papier)

Mfg Michael

an1212 aktiv_icon

19:24 Uhr, 27.11.2016

Sehr gut, vielen Dank dir!
Dann werde ich mir das nochmal genauer anschauen.

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