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Korrekte Angabe von Werten mit Fehlern und Rundung

Universität / Fachhochschule

Tags: Fehlerrechnung, Rundung

thommy7571 aktiv_icon

15:28 Uhr, 19.08.2022

Hallo,

ich habe zwei Werte wie folgt

ln (k 0) = 29,544 \pm 1,1

und EA

= 131,29 \pm 3,9

kJ/mol.
Aus Genauigkeitsgründen möchte ich auch die resultierende Geschwindigkeitskonstante

k = k 0 \cdot

exp(-EA/ (RT)).

mit Fehler Delta(k)angeben.
Einerseits ist die Angabe der ersten Dezimalstelle beim Wert

29.544

sinnlos, weil der Fehler größer 1 ist.
Es ist andererseits klar, dass für den berechneten Fehler von

1.101

die Fehlerangabe

1,1

sinnlos wäre, da der Fehler bereits größer 1 ist und somit die erste Dezimalstelle sinnlos.
Ich habe gelesen, dass bei der Fehlerrechnung der Fehler immer

(!)

aufgerundet werden muss.

Was also ist die korrekte Angabe am Ende?
Muss ich

29.544

(oder müsste ich auch

z . B

29.4)

auf

30

aufrunden und ebenso

1.1

auf 2?
Bei

1.1

aufrunden erscheint mir merkwürdig...
Müsste ich also

30 \pm 1

angeben oder wäre die Antwort

30 \pm 2

.

Zum anderen müsste ich

k

und den Fehler von

k

berechnen. Hierbei stellt sich dann auch die Frage, welche Werte zu verwenden wären.

Ich stelle die Frage hier, da ich sicher sein muss, dass meine Angabe in meinem wissenschaftlichen Artikel korrekt sein wird.

bis dann

Thommy7571

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

N8eule

17:34 Uhr, 19.08.2022

Hallo
Du erklärst (mindestens für mich) ein wenig konfus.
Ich versuche mal zu sortieren, was ich glaube, verstehen zu dürfen.
Wenn

ln (k_{0}) = 29,544 \pm 1,1

dann liegt

k_{0}

zwischen
k_0min

= 2.255 e + 12

k_0max

= 2.035 e + 13

Entsprechend liegt EA zwischen
EAmin

= 127.39

[

kJ/mol]
EAmax

= 135.19

[

kJ/mol]

Das was du dann beschreibst, scheint eher den Wert

ln (k_{0})

zu betreffen.
Wenn

ln (k_{0}) = 29.544 \pm 1,1,

warum schreibst du dann nicht einfach auch

ln (k_{0}) = 29.544 \pm 1,1

?
Das jetzt irgendwie runden zu wollen macht die Sache doch nicht genauer oder verständlicher.

Getrennt davon sollten wir betrachten, wie du andeutest, dass du noch irgendwie einen Fehler für

k

beschreiben willst.
Dazu müsstest du ja verstehen lassen, was "RT" ist.
Ist das die Gaskonstante

' R'

?
Wenn ja, ist das dann

R \cdot T

eine weitere Variable

' T'

vielleicht für die Temperatur?
Solange du uns nicht wissen lässt, was die Dinge sind, können wir auch

>

in deinem funktionalen Zusammenhang keine Konstante erkennen,

>

und nicht wirklich weiter helfen.

Prinzipiell ist die Vorgehensweise doch stets die selbe simple:
Wenn du in einem formalen Zusammenhang Fehler-Intervalle für Eingabedaten hast,
dann kannst du prinzipiell stupide alle Kombinationen an Minimal- und Maximal-Werten durchrechnen,

>

das größte Ergebnis ist natürlich der Größtwert für den Ergebniswert,

>

das kleinste Ergebnis ist natürlich der Kleinstwert für den Ergebniswert.

thommy7571 aktiv_icon

18:42 Uhr, 19.08.2022

Hallo,

ja

R

ist die Gaskonstante und

T

ist eine beliebige Temperatur in Kelvin.
Irgendwie scheint die Darstellung komisch gewesen zu sein, jetzt ist sie aber OK.
Die Werte

29,544

und

1.1

sind einfach Rechenergebnisse bzw. Messergebnisse.

Ich schreibe nicht

29,544 \pm 1.101,

weil das falsch wäre. Wenn der Fehler bereits größer 1 ist, dann sind alle Stellen dahinter noch unsicherer. Dies gilt auch für die Zahl selbst. Wenn eine Zahl einen Fehler von 1 hat, ist die erste Dezimalstelle bereits unsicher. Wenn man das also in einem Artikel schreibt, wird man von jedem Sachkundigen gewöhnlich sofort ausgebuht..

Erhält man

z . B

. aus einer Rechnung den Wert

1.05432

und aus der Fehlerrechnung den Wert

0.3333333

könnte man geneigt sein zu schreiben:

1,05432 \pm 0,3333333 m

, was aber unsinnig wäre.

Soweit ich das gelernt habe, sollte ein Ergebnis immer nur mit soviel Dezimalstellen angegeben werden, wie gesichert sind. Der Fehler gibt dann (zumindest bei einer signifikanten Stelle) die Ungenauigkeit der letzten Stelle an,

z . B

1.05 \pm 0.05 m

Dies heißt ja

1,0 m

sind sicher, die letzten

0,05

können theoretisch um

100 %

danebenliegen (nach oben oder unten).
Unklar ist mir allerdings noch, warum manche mit einer signifikanten Stelle und andere mit zwei signifikanten Stellen arbeiten.
So habe ich an anderer Stelle auch als angeblich richtige Angabe

z . B

103,3 \pm 8,2

gefunden
mit dem Hinweis, dass dort dann 2 signifikante Stellen verwendet wurden.
Warum, blieb aber unklar.

Offenbar abhängig von der Zahl der signifikanten Stellen kann man also schreiben

1,0 + - 0.3

oder

1,05 \pm 0.33

Thommy7571

N8eule

21:04 Uhr, 19.08.2022

Richtig und unterstützenswert ist, dass man nicht mehr Stellen schreiben soll, als man ungefähr auch weiß, ahnt und abgesichert hat.
Im Alltag ist man da aber nicht so streng. Oft weiß man ja nicht, wie viele Stellen Genauigkeit gegeben sind.
Insbesondere im Umgang und Kommunikation ist es doch deutlich typischer, dass die Gesprächspartner sich Zahlen und Daten austauschen, ohne wirklich eine Fehlertoleranz zu benennen.
Dann muss man schon mit gesundem Menschen- und Sachverstand einschätzen, ob oder in wie weit die Zahlenangaben und Stellenzahl verlässlich und plausibel sind.

"Ich schreibe nicht

29,544 \pm 1,1,

weil das falsch wäre."
Das ist nicht grundsätzlich falsch.
Wenn du diese Werte und Genauigkeiten einschätzt und belegen kannst, dann ist das die richtigste Angabe, die du tätigen kannst.
Du lässt uns hier im Forum im Unklaren, was daran falsch sein soll, oder wo deine Unsicherheit im Grunde liegt.
Meine beste Vermutung ist, dass dich verunsichert, dass

>

der Wert

29,544

drei Nachkommastellen besitzt,

>

der Wert

1,1

nur eine Nachkommastelle besitzt.
Ja, dann wäre

29,544 \pm 1,100

sicher geeigneter, wenn du eher drei Nachkommastellen vertraust,

29,5 \pm 1,1

geeigneter, wenn du eher nur einer Nachkommastelle vertraust.
Zwei Stellen Differenz zwischen den Stellenzahlen wäre sicherlich schon ein wenig argwönisch. So streng, wie du das hier aber ansprichst wird das in der Praxis nicht so schnell jemand nehmen.

"Erhält man

z . B

. aus einer Rechnung den Wert

1.05432

und aus der Fehlerrechnung den Wert

0.3333

könnte man geneigt sein zu schreiben:
1,05432±0,3333m
, was aber unsinnig wäre."
Das ist nicht grundsätzlich falsch.
Wiederum, wenn du diese Werte und Genauigkeiten einschätzt und belegen kannst, dann ist das die richtigste Angabe, die du tätigen kannst.
Du lässt uns hier im Forum im Unklaren, was daran falsch sein soll, oder wo deine Unsicherheit im Grunde liegt.
In dem Fall hat

>

der eine Wert 5 Nachkommastellen,

>

der andere Wert 4 Nachkommastellen,
nicht perfekt, aber keineswegs unpraktisch oder gar 'ausbuhenswert'.

thommy7571 aktiv_icon

09:54 Uhr, 20.08.2022

OK danke.Für meinen Artikel muss ich aber selbst mindestens so streng sein, wie die, die ihn lesen (die sind es meist ziemlich) und befürworten sollen.
Immerhin weiß ich jetzt, dass ich auch die Ergebnisse und Fehler mit jeweils 2 signifikanten Stellen angeben kann. Diese zu rechtfertigen, ist vermutlich eine andere Geschichte. (mir noch etwas unklar)

Für die Berechnung des Fehlers habe ich

Δ (k) =

(dk/dk0)*

Δ (k 0) +

(dk/dEA)*Delta(EA)
gebildet.(EA in kJ) und die Ableitungen nach der Produktregel.

(dk/dk0)*Delta(k0) = (EXP(-(EA*1000)/R_/(T+273,15)))*Delta(k0)
(dk/dEA)*Delta(EA) = EXP(-(EA*1000)/R_/(T+273,15))*EXP(lnk0)/R_/(T+273,15)*Delta(EA)*1000

(Formel in Excel mit Zellen durch Werte substituiert_

R_{}

ist Univ. Gaskonstante)

Zum einen würden diese Werte einen

100 %

igen Fehler ergeben, zum anderen würde dieser von meinen bisherigen Rechnungen (mit je minimalem und maximalem Wert für

k 0

und EA) abweichen.

Sieht jemand einen Fehler?

Zum anderen bin ich mir noch nicht sicher, ob ich das als statistische Werte oder als normalen Messfehler auffassen sollte, also Wurzel der Summe aus Quadraten bilden oder
nur wie oben addieren.

Thommy7571

N8eule

11:26 Uhr, 20.08.2022

dk/dk_0 = exp(-EA/(R*T))

thommy7571 aktiv_icon

14:04 Uhr, 20.08.2022

Stimmt, habe ich korrigiert.
Der Fehlerwert ist immer noch sehr hoch.

Mit der größten Aktivierungsenergie und dem kleinsten lnk0 ergibt sich
der kleinste k-Wert.
Die Differenz zum Mittelwert ist aber kleiner als der berechnete Fehler...
Hat jemand eine Idee, wo der Fehler liegt?

Thommy7571

N8eule

15:17 Uhr, 20.08.2022

Die Fehler-Formel
dF = dF/dk

\cdot

dk
beschreibt ja eine lineare (proportionale) Abhängigkeit.
Die stimmt schon einigermaßen, insbesondere in der nahen Umgebung des Entwicklungspunkts.

Du deutest hier größere Fehler an, insbesondere für nicht-lineare exponetielle Zusammenhänge für den Exponenten.
Da sind größere 'Fehler' dann schnell unpräzise.
Die zweitere Vorgehensweise mit der Extremwertrechnung aus der ungünstigsten Kombination der Größt- / Kleinst-Werte ist in jedem Fall prinzipiell richtig.

thommy7571 aktiv_icon

15:49 Uhr, 20.08.2022

Ja, das stimmt. Im Prinzip bin ich schon etwas weitere gekommen, weil ich vorher versehentlich wohl nicht die richtigen Werte kombiniert hatte. Deswegen war - wie ich ursprünglich geschrieben hatte - der Fehler viel kleiner als er gemäß der Fehlerrechnung hätte sein sollen.
Das ist auch schon bereits ein Fortschritt, weil ich jetzt weiß, dass meine bisherigen Angaben falsch und die mit einer bestimmten Methode gefundenen Werte viel ungenauer sind als gedacht..

Allerdings weicht der gefundene Fehler immer noch stark ab, was ja auch nicht normal ist, so dass ich keine korrekte Angabe zum Fehler machen kann. Außerdem finde ich vor allem aber irgendwie unterschiedliche Abweichungen nach unten und nach oben, daher meine unpräzise Ausdrucksweise. Ich weiß irgendwie nicht mehr weiter und bin irgendwie auch fix und fertig - obwohl es gar nicht so heiß wie die letzten Tagt ist... Bin für jede Hilfe dankbar.

Thommy7571

ledum aktiv_icon

16:14 Uhr, 20.08.2022

Was du schreibst ist zu ungenau um dir wirklich zu helfen , wie findest du unterschiedliche Fehler nach unten und oben? Die Fehler, die man mit seiner Messung

+

Fehlerrechnung ehrlicherweise angeben muss sind oft weit von der Entfernung vom Literaturwert entfernt, Insbesondere erzielt man mit manchen Praktikumsversuchen beinahe die Literaturwerte, die Fehler aber sind rechnerisch sehr groß.
Du solltest also sagen was du genau gemessen hast, Unsicherheit der verwendeten Instrumente oder hauptsachlich Unterschiede bei Mehrfachmessung usw.
Gruß ledum

thommy7571 aktiv_icon

19:57 Uhr, 20.08.2022

Ich habe den kleinsten lnk0 Wert (also lnk0 - Fehler) mit der höchsten Aktivierungsenergie (also Aktivierungsenergie

+

Fehler) kombiniert und umgekehrt.

Werte und Fehler resultieren aus experimentellen und simulierten Messkurven.
Wie gesagt, es ist wichtig, weil ich die Angaben später publizieren werde.

Thommy7571

ledum aktiv_icon

16:22 Uhr, 21.08.2022

du redest von "publizieren" geht es um eine Bachelor oder Masterarbeit? dann frag deinen Betreuer. oder sieh dir in andere Arbeiten an, was bei euch üblich ist.
ledum

thommy7571 aktiv_icon

09:54 Uhr, 22.08.2022

Nein, in einer wissenschaftlichen Zeitschrift. Ich habe noch nie dieses Problem gehabt.
Wenn ich eine derartige Möglichkeit hätte, würde mich nicht an Mathe online wenden.

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