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Tags: Fehlerhafte Angabe

 
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biler

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21:52 Uhr, 16.04.2024

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Bitte um Entschuldigung, bei meiner ersten Frage hat sich ein Fehler eingeschlichen, weil ich erhebliche Probleme mit meiner Sehkraft habe.
Die Frage lautet:
Warum gilt:
(n+r)!r!=(1+r)(2+r)... . ⋅ (n+r),n= natürliche Zahl, 0<r<1
Vielen Damk für die Antworten.

Online-Nachhilfe in Mathematik
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HJKweseleit

HJKweseleit aktiv_icon

22:11 Uhr, 16.04.2024

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Stell dir einfach mal Zähler und Nenner ausgeschrieben vor:

(n+r)!r!=123...r(r+1)(r+2)...(n+r)123...r= (jetzt vorne alles wegkürzen)= (r+1)(r+2)...(n+r)1
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Roman-22

Roman-22

22:57 Uhr, 16.04.2024

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Laut Fragesteller ist r aber keine ganze, sondern eine nichtganzzahlige, reelle Zahl im Bereich (0;1)... ?????

Es kann daher kaum r123...r gelten.

x! ist aber m.W. nur für x definiert, andernfalls müsste man auf die Gamma-Funktion ausweichen, oder?
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calc007

calc007

22:58 Uhr, 16.04.2024

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...und das ganze gilt schon eher für n UND r aus den natürlichen Zahlen.
Dein
"0 <r< 1"
müsstest du schon nochmals überdenken,
oder klären, wie du zB. die Fakultät aus
r=0.5
bilden wolltest.

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Roman-22

Roman-22

23:06 Uhr, 16.04.2024

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> oder klären, wie du zB. die Fakultät aus
>r=0.5
> bilden wolltest.

Naja, die Definition z!=Γ(z+1) für z und Re(z)>0 gibt es schon auch noch.

Da wäre dann 0,5!=Γ(1,5)0,8862.

Die angegebene Formel scheint (habs anhand von ein paar Testwerten ausprobiert, siehe Anhang) damit auch richtig zu sein, müsste aber anders bewiesen werden, da die Definition von z! dann ja nicht mehr über das Produkt läuft!

B
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HAL9000

HAL9000

23:16 Uhr, 16.04.2024

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Es reicht ja für den Beweis aus, die für alle z\{0,-1,-2,} gültige Eigenschaft Γ(z+1)=zΓ(z) zu nutzen. Und die Behauptung sollte umgeschrieben werden in

Γ(n+r+1)Γ(r+1)=(1+r)(2+r)(n+r),

denn auch wenn man vereinzelt die Definition z!:=Γ(z+1) pflegen mag, so ist diese Sichtweise m.E. weit entfernt vom Gemeingut.
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