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Faltungsintegral

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Integration

Tags: Integration

CSlupina aktiv_icon

14:47 Uhr, 15.08.2022

Hallo liebe Community,

ich habe eine Frage zum Faltungsintegral. Im folgenden Beispiel soll die Faltung y(t) zwischen einer Sprungfunktion

f (t) = σ (t)

und einer Rechteckfunktion

g (t) = r e c t (t - 0, 5)

gebildet werden. Mir ist anschaulich klar, was dabei herauskommen muss. Bei der Rechnung komme ich allerdings mit den Variablen und den Integrationsbereichen durcheinander. Wenn ich es richtig verstehe lässt sich die Funktion in drei Schritten ermitteln:

1. Für t < 0 ist

y (t) = \int_{- \infty}^{0} f (t) \cdot g (t + τ) d τ = 0

weil es keinen Überlapp gibt.

2. Für 0 < t < 1 ist

y (t) = \int_{0}^{1} f (t) \cdot g (t + τ) d τ = t

das heißt der Überlapp nimmt stetig zu, bis er den Wert eins erreicht.

3. Für t > 1 ist

y (t) = \int_{1}^{\infty} f (t) \cdot g (t + τ) d τ = 1

. Der Wert des Überlapps bleibt ja konstant.

Bei letzterem Integral komme ich durcheinander, denn die Rechteckfunktion nimmt ja für t > 1 wieder den Wert 0 an, also sollte doch eigentlich das ganze Integral verschwinden. Wo liegt mein Denkfehler?

CSlupina aktiv_icon

16:49 Uhr, 16.08.2022

Ist das Problem von mir zu einfach oder zu kompliziert? Ich frage mich, weshalb keiner antwortet...

pwmeyer aktiv_icon

17:48 Uhr, 16.08.2022

Hallo,

zunächst zu den Bezeichnungen:

σ (t) :

Spring bei

t = 0

von 0 auf 1?
rect(t): Rechteck auf

[- . 5,0 . 5]

oder

[- 1,1]

mit Höhe 1?

Dann hast Du die Faltung falsch definiert:

\int_{- \infty}^{\infty} f (t) g (t + τ) d τ = \int_{- \infty}^{\infty} f (t) d t \cdot \int_{- \infty}^{\infty} g (t)

dt??

Gruß pwm

CSlupina aktiv_icon

19:09 Uhr, 16.08.2022

Gleichfalls hallo:

Zu den Bezeichnungen. Ja, ich meine mit

σ (t)

den Sprung von 0 auf 1 bei t=0.
Und ja, die Rechteckfunktion hat in meinem Beispiel die Breite 1. Sie beginnt nur bei 0, weil die Mitte um eine halbe Einheit nach rechts verschoben wurde.

Kann man das Integral wie von dir vorgeschlagen in zwei Integrale auftrennen? Das sagt die Rechenregel zwar aus, aber wie verhält sich das denn mit den Variablen? Ich verwende tau ja nur für eine der beiden Funktionen, nämlich die die verschoben wird. Die andere Funktion bleibt doch ortsfest und es kommt erst zu einem Überlapp, wenn

τ \geq 0

pwmeyer aktiv_icon

10:44 Uhr, 17.08.2022

Hallo,

ich wollte damit sagen, dass Dein Term für die Faltung falsch ist. Ich kenne es so

f ⋆ g (x) = \int f (t) g (x - t) d t = \int f (x - t) g (t) d t

Gruß pwm

pwmeyer aktiv_icon

10:52 Uhr, 17.08.2022

Hallo,

ich wollte damit sagen, dass Dein Term für die Faltung falsch ist. Ich kenne es so

f ⋆ g (x) = \int f (t) g (x - t) d t = \int f (x - t) g (t) d t

Gruß pwm

Kartoffelchipsman aktiv_icon

02:32 Uhr, 18.08.2022

Im Faltungsintegral verwende ich robust die Indikatorfunktionen

1_{t > 0} (t)

für die Sprungfunktion und

1_{0 < t < 1} (t)

für die Rechteckfunktion,

da dem Integral die Funktionswerte an den Intervallgrenzen egal sind.

Damit ergibt sich dann für die Faltung

\int_{- \infty}^{\infty} 1_{τ > 0} (τ) \cdot 1_{0 < t - τ < 1} (t - τ) \cdot d τ

= \int_{0}^{\infty} 1_{0 < t - τ < 1} (t - τ) \cdot d τ

Substitution:

z = t - τ

= \int_{- \infty}^{t} 1_{0 < z < 1} (z) \cdot d z

= min (t,1),

falls

t > 0

und

= 0,

falls

t \leq 0

(man entschuldige die behelfsmäßige Notation).

Will man eine Rechenvorschrift statt dieser Fallunterscheidung,

ergibt sich dafür mit dem "Flachmach-Trick"

\frac{t}{2} + \frac{| t |}{2} + \frac{1 - t}{2} - \frac{| 1 - t |}{2} = \frac{1 + | t | - | 1 - t |}{2}

.

Also ist

\int_{- \infty}^{\infty} 1_{τ > 0} (τ) \cdot 1_{0 < t - τ < 1} (t - τ) \cdot d τ = \frac{1 + | t | - | 1 - t |}{2}

mein Tipp für die Faltung.

HAL9000

07:21 Uhr, 18.08.2022

> =min(t,1), falls t>0 und =0, falls t=0

Das ist irgendwie auf halber Strecke stehen geblieben - wenn man schon mit min/max-Operatoren hantiert um die Fallanzahlen zu reduzieren, warum dann nicht gleich weitergehend

= max(min(t,1),0) = min(max(t,0),1) .

Kartoffelchipsman aktiv_icon

11:41 Uhr, 18.08.2022

HAL, Du hast mich falsch zitiert, denn "

= 0,

falls

t \leq 0

"

hab ich gewchrieben, nicht "

= 0,

falls

t = 0

".

Aber Dank für den Tipp, wieder was gelernt.

Stehe also dort

"

= max (min (t,1),0)

"

statt der Fallunterscheidung.

Kartoffelchipsman aktiv_icon

13:15 Uhr, 18.08.2022

Hier nochmal das Selbe in grün...

HAL9000

13:26 Uhr, 18.08.2022

> HAL, Du hast mich falsch zitiert

Stimmt, das Copy+Paste hier im Board funktioniert leider nicht richtig. Ändert aber in der Sache nichts.

Kartoffelchipsman aktiv_icon

13:38 Uhr, 18.08.2022

CSlupina, bei meiner letzten, handschriftlichen Rechnung
(Gelstift schmiert, erfind mal einer den nichtschmierenden)
betreibe ich die Sprungfunktion auf

t - τ

und die Rechteckfunktion auf

τ,

also andersrum als bei meinem ersten Post.
Vielleicht ist das der elegantere Weg...

Kartoffelchipsman aktiv_icon

19:01 Uhr, 18.08.2022

Eine Compilation mit der vorläufig
letzten Version meiner Bearbeitung
dieser Aufgabe...

CSlupina aktiv_icon

20:06 Uhr, 19.08.2022

Danke an alle! Den Trick mit den Indikatorfunktionen kannte ich noch nicht. Bisher habe ich im Kopf gehabt das Integral abschnittsweise zu lösen.Gut zu wissen, dass es dafür auch einen elganteren Weg gibt. Gruß Christian

Kartoffelchipsman aktiv_icon

21:02 Uhr, 19.08.2022

Ja, diese Funktionen sind so Art praktische Crashtest-Dummies.
Ich lese gerade "Stochastik" von Hans-Otto Georgii,
da wird viel damit hantiert, siehe Bild.

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