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Kosten- & Erlösfunktion - Textaufgabe

Schüler

Tags: Gewinnfunktion, Kostenfunktion, Preisfunktion

Mathebloeder aktiv_icon

22:16 Uhr, 10.12.2012

Seid gegrüßt!

Ich habe mal wieder ein Problem mit einer Aufgabe:

Ein Unternehmen möchte einen kleineren und noch leistungsfähigeren mp3 Player herstellen. Die Unternehmensführung berät über den Produktionsumfang und den zu erwartenden Gewinn.
Der erzielbare Marktpreis in Geldeinheiten (GE) ist von der Produktionsmenge x in Mengenheinheiten (ME) abhängig. Je weniger Exemplare produziert werden, desto höher ist der erzielbare Preis. Dabei folgt der Marktpreis der linearen Preisfunktion p:

p (x) = - 3 x + 450

Die Gesamtkosten in Geldeinheiten für die Herstellung der mp3 Player hängen im Wesentlichen von der produzierten Menge x in Mengeneinheiten ab und werden durch die folgende Kostenfunktion beschrieben:

K (x) = \frac{1}{30} x ³ - \frac{9}{2} x ² + 270 x + 6000

a) Geben Sie die Erlösfunktion E an und bestimmen Sie einen maximalen, ökonomisch sinnvollen Definitionsbereich der Funktion E.
b) Zeigen Sie durch Rechnung, dass die angegebene Kostenfunktion keine Extremwerte besitzt und begründen Sie aus ökonomischer Sicht, warum das der Erfahrung aus der Praxis spricht.
c) Bestimmen Sie die Kostenkehre der Kostenfunktion, also den Wendepunkt der Kostenfunktion und erklären Sie seine ökonomische Bedeutung.
d) Bestimmen Sie die Gewinnfunktion G und berechnen Sie die Produktionsmenge x, bei der der Gewinn maximal wird.

Mein Lösungsansatz ist nun:

Für a)
Die Erlösfunktion ergibt sich aus: E(x) = p * x
E(x) = x (-3x + 450) = -3x² + 450
Um den max. Definitionsbereich zu bestimmen habe ich die Nullstelle von E berechnet:
-3x² + 450 = 0
x = 150

D_{f} = ℝ \

{0,150}

Für b)
Habe zuerst die Ableitungen der Kostenfunktion bestimmt:

K (x) = \frac{1}{30} x ³ - \frac{9}{2} x ² + 270 x + 6000

\frac{1}{30} x ³ - 4, 5 x ² + 270 x + 6000

K ʹ (x) = \frac{1}{10} x ² - 9 x + 270

K ʺ (x) = \frac{1}{5} x - 9

Nun wollte ich die Nullstellen der 1. Ableitung berrechnen und die dann anschließend in die 2. Ableitung einsetzen um zu sehen, obs Extremwerte gibt.
Nur hat die 1. Ableitung keine Extremstellen. Also:

K ʹ (x) = \frac{1}{10} x ² - 9 x + 270 \neq 0

Damit sollte die Aufgabe doch eigentlich erledigt sein oder?

Für c)
Hier habe ich nun ein Problem:
Ich wollte zuerst nachsehen, ob die Kostenfunktion einen Sattelpunkt bestizt.
Aber weil die 1. Ableitung ja nicht 0 wird, kann es doch keinen geben weil keine Bedingung erfüllt ist oder??
Und damit dann doch auch keinen Wendepunkt?

Komme da nicht so ganz weiter, bzw. verstehe die Aufgabe nicht Oo

Wäre klasse, wenn jemand über meine Lösungen gucken und mir bei c) helfen könnte. :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

prodomo aktiv_icon

06:20 Uhr, 11.12.2012

Da ist manches richtig gedacht, aber auch manches falsch.

E (x) = x \cdot p (x)

= x \cdot (- 3 \cdot x + 450)

= - 3 \cdot x^{2} + 450 x

\Rightarrow D_{f =} [0; 150]

ℝ

umfasst auch negative Zahlen und die Stellen 0 und

150

sind die Grenzen, nicht die Ausnahmen. Wenn ihr allerdings einen Erlös nur

> 0

erlauben dürft, dann

[1; 149]

.
Die Ableitungen zu

K (x)

sind richtig. Extremstellen kommen nicht vor, wohl aber eine Wendestelle bei

x = 45

(Kurven 3. Grades haben IMMER Wendepunkte, diese sind ihr Symmetriezentrum). Für WP braucht man vorher keine Extrempunkte.

G (x) = E (x) - K (x)

liefert

G (x) = - \frac{1}{30} \cdot x^{3} + \frac{3}{2} \cdot x^{2} + 180 \cdot x - 6000

.
Das führt schließlich zu

x_{e} = 60

oder

x_{e} = - 30

. Nur

60

gehört zu

D_{f}

Mathebloeder aktiv_icon

18:17 Uhr, 11.12.2012

Vielen Dank für deine Antwort!

a) Die Erlösfunktion ist also schonmal richtig.
Zum Definitionsbereich: Also geht der "maximale ökonomisch sinnvolle" Definitionsbereich nur von 0-150 ? Wie schreibe ich das am besten?

b) scheint also so zu stimmen?

c) So ganz versteh' ich leider noch nicht. :-(
In meinen Unterlagen steht, dass die notwendige Bedinung für einen Sattelpunkt ist, dass die 1. und 2. Ableitung 0 werden können.
Wie kommst Du auf die Wendestelle bei x = 45 ?

Würde mich freuen, wenn Du mir nochmal weiterhelfen könntest! :-)

Mathebloeder aktiv_icon

18:17 Uhr, 11.12.2012

prodomo aktiv_icon

06:50 Uhr, 12.12.2012

Ich habe doch

[0; 150]

gepostet !
Für einen Wendepunkt muss

G'' (x) = 0

sein. Von einem Sattelpunkt war nicht die Rede.
Das Gewinnmaximum bekommst du mit

G' (x) = 0

. Das ist eine quadratische Gleichung, also pq-Formel.

Mathebloeder aktiv_icon

21:52 Uhr, 12.12.2012

Ach mist, da hatte ich was falsch verstanden. :-P)

Habe nun noch ein kleines Problem mit d)
Wollte dann zuerst die Gewinnfunktion ausrechnen. Also E(x)-K(x).
Das hast Du ja eigentlich schon übernommen, doch wollte ich natürlich zur Verständnis nochmal selbst nachrechnen. :-)

- 3 x ² + 450 - (\frac{1}{30} x ³ - 4, 5 x ² + 270 x + 6000

- 3 x ² + 450 - (\frac{1}{30} x ³ + (- 4, 5 x ²) + 270 x + 6000)

- 3 x ² + 450 - (\frac{1}{30} x ³ - 4, 5 x ² + 270 x + 6000)

(- \frac{1}{30} x ³ + 4, 5 x ² - 270 x - 6000) - 3 x ² + 450

- \frac{1}{30} x ³ + 4, 5 x ² - 3 x ² - 270 x - 6000 + 450

- \frac{1}{30} x ³ + 1, 5 x ² - 270 x - 5550

Habe mich bei der Rechnung an einem Beispiel aus meinem Lehrheft orientiert.
Komme aber anscheinend auf ein anderes Ergebnis. Nun habe ich mal eben etwas gesucht, und fand einen Online Gleichungsrechner. Der bestätigte mir mein Ergebnis. ?.?
Damit möchte ich natürlich nicht die Richtigkeit deiner Rechnung anzweifeln!
Nur würde ich gern wissen, wo der Fehler in meiner Rechnung steckt, damit ich in Zukunft nicht wieder so vorgehe.

Den Rest habe ich denke ich verstanden... :-)
Noch die 1. Ableitung der Gewinnfunktion bestimmen, dann nach x² auflösen und schließlich mit der Mitternachtsformel die Produktionsmenge bestimmen.

Vielen dank nochmal für deine Hilfe!

anonymous

23:53 Uhr, 12.12.2012

Dein Fehler liegt nicht in der letzten Rechnung da diese Gleichung korrekt umgeformt wurde,allerdings bist du mit einer falschen Funktion an diese Aufgabe herangegangen:

Wie prodomo bereits gesagt hat ist dein

E (x)

falsch umgeformt worden:

E (x) = p \cdot x

\Leftrightarrow (- 3 x + 450) \cdot x

\Leftrightarrow

-3x²

+ 450 x

Du hast bei deiner Rechnung nicht alle Terme in der Klammer mit

x

multipliziert.
Wenn die dieses

E (x)

nimmst erhällst du auch das richtige Ergebnis

=)

Mathebloeder aktiv_icon

01:31 Uhr, 13.12.2012

Ahhhrgh.. Ich werde noch wahnsinnig. :-D) Danke für den Hinweis!
Dieses kleine miese x habe ich übersehen. -.-
Nun ergibt's natürlich Sinn. Sry Prodmo, da habe ich schlecht aufgepasst :-P)

Also nochmal richtig:

- 3 x ² + 450 x - (\frac{1}{30} x ³ - 4, 5 x ² + 270 x + 6000

- 3 x ² + 450 x - (\frac{1}{30} x ³ + (- 4, 5 x ²) + 270 x + 6000)

- 3 x ² + 450 x - (\frac{1}{30} x ³ - 4, 5 x ² + 270 x + 6000)

(- \frac{1}{30} x ³ + 4, 5 x ² - 270 x - 6000) - 3 x ² + 450 x

- \frac{1}{30} x ³ + (4, 5 x ² - 3 x ²) - (450 x - 270 x) - 6000

- \frac{1}{30} x ³ + 1, 5 x ² + 180 x - 6000

G(x) =

- \frac{1}{30} x ³ + 1, 5 x ² + 180 x - 6000

G'(x) =

- \frac{1}{10} x ² + 3 x + 180

|:0,1
G'(x) =

x ² + 30 x + 1800

...PQ Formel...= Maximaler Gewinn wird bei einer Produktionsmenge von 60 Geräten erzielt.

Das sollte es dann ja eigentlich gewesen sein. :-)

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