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Kostenfunktion 3. Ordnung

Schüler

Tags: Kostenfunktion

tam003 aktiv_icon

14:08 Uhr, 21.02.2012

Meine Frage:
Von einer Kostenfunktion 3. Ordnung kennt man folgende Größen: Bei

20

ME betragen die Gesamtkosten

2220

GE; wird die Produktion um

85

ME erhöht, so betragen die Gesamtkosten

6087,5

GE; bei

x = 40

betragen Stückkosten

77,6

GE/ME und bei

x = 130

betragen sie 56GE/ME.
Erstelle die Funktionsgleichung der Kosten!

Leider habe ich keine Ahnung, wie ich beginnen soll, da wir bis jetzt immer Beispiele hatten, bei der die Kostenfunktion bereits gegeben war.

Die Lösung ist:

K (x) =

0,0000000000000027x³

+

0,02x²

+ 43 x + 1352

Wäre sehr hilfreich, wenn mir jemand den Lösungsansatz erklären könnte.

Leuchtturm aktiv_icon

16:30 Uhr, 21.02.2012

Kostenfunktion 3.Grades:

K (x) = a x^{3} + b x^{2}

+cx+d
Ist eigentlich klar, da in der Aufgabe bereits die gesuchte Funktion zu Kontrollzwecken genannt wird.

Jetzt musst du dir aus der Aufgabenstellung heraus ein Gleichnungssystem aufstellen, mit dem du die Koeffizienten

a, b, c

und

d

bestimmst. Dazu wirst du 4 Gleichungen benötigen.

Eine Gleichung gebe ich dir noch mit auf den Weg:

aus dem Hinweis das bei

20

ME Gesamtkosten von

2220

GE resultieren, folgt:

I.

K (20) = 2220

a {(20)}^{3} + b {(20)}^{2} + c (20) + d = 2220

tam003 aktiv_icon

08:53 Uhr, 22.02.2012

Danke für deine schnelle Antwort!

Aber wie löse ich das Gleichungssystem mit 4 unbekannten?
Könntest du mir den weiteren Verlauf erklären?

Ich bin schon am verzweifeln, da ich so ein Beispiel höchstwahrscheinlich zur Prüfung bekommen werde und ich nichts derartiges in meinen Unterlagen habe...

lg
tam

irena

09:25 Uhr, 22.02.2012

Hallo,
eine Frage : was ist der Unterschied zwischen

x

und ME?
außerdem gibt

K

die Gesamtkosten an oder die Stückkosten?

Leuchtturm aktiv_icon

20:21 Uhr, 22.02.2012

Über die Vorgehensweise zum Lösen von Gleichungssystemen findest du hier im Forum eigentlich genügend Hinweise. Mein Zeitbudget gibt es leider nicht her, dir hierzu ein ausführliche Anleitung zu geben. Frühestens am Samstag käme ich dazu. Sollte sich bis dahin niemand finden, bin ich gerne bereit mir die Mühe zu machen. (Kann es allerdings nicht versprechen)

@irena:

x =

ME und das großes

K

gibt die Gesamtkosten an. Das wird allerdings durch die Kostenfunktion

K (x)

deutlich. Die Stückkosten bzw. die Stückkostenfunktion ergibt sich aus

\frac{K (x)}{x}

irena

20:33 Uhr, 22.02.2012

@ Leuchtturm :-D)anke , ich wollte nur sicher gehen beim aufstellen
der Bedingungen.
Hallo tam003,
du hast eine Gleichung mit 4 Unbekannten

: K (x) = a \cdot x^{3} + b \cdot x^{2} + c \cdot x + d \to s . o

. (Leuchtturm)
und du hast 4 Angaben:
1 .

K (20) = 2220

K (20 + 85) = K (105) = 6087,5

K (40) = 77.6 \cdot 40 = 3104

K (130) = 56 \cdot 130 = 7280

\to

einsetzen in die Gleichung

tam003 aktiv_icon

09:52 Uhr, 23.02.2012

Vielen Dank liebe Irena, jetzt hab ichs :-) Dank dir hab ichs jetzt geschafft!

Könntest du mir bei diesem auch noch helfen? Außer es ist zu umfangreich und/oder du hast keine Zeit...aber ich frag dich einfach mal :-)

a)

Von einer Kostenfunktion 3. Ordnung kennt man folgende Werte:

K (0) = 16, K

(0) = 8, K ´ (2) = 2, K (Q u e r s t r i c h ü b e r K) (2) = 12

Drücken Sie die 4 Angaben in Worte aus und bestimmen Sie die Kostenfunktion!

b)

Ein Betrieb kennt seine Kostenfunktion

K (x) =

0,0002X³-0,12x²+30X+2450.
Angenommen, der Artikel kann zum konstanten Stückpreis von

19,50

GE verkauft werden.
Zeigen Sie, dass der Betrieb in diesem Fall keinen Gewinn machen kann. Anleitung: Berechnen Sie den maximalen Gewinn und zeigen Sie,
dass er nicht größer als 0 ist. Bei welcher Produktionsmenge macht der Betrieb keinen Verlust?

c)

die Nachfragefunktion wird als lineare Funktion angenommen. Der Höchstpreis beträgt

42

GE. Zum Preis von

20

GE können

440

ME verkauft werden.
Ermitteln Sie die Gleichung der Nachfrage- (Preis-) Funktion und die Sättigungsmenge!

tam003 aktiv_icon

10:02 Uhr, 23.02.2012

Liebe Irena, zu der Kostenfunktionsaufstellung bin ich zurzeit so weit:

K (0) = 16 - \to d = 16

K

(0) = 8 - \to c = 8

K

(2) = 2 - \to 12 a + 4 b + 8 c = 2

aber das K(2)(Querstrich über

K) = 12 - \to

welche gleichung mach ich da draus? Ist das die Stückkostenfunktion oder?

Ich hoffe du kannst mir da weiterhelfen :-) vielen Dank!!!

irena

10:09 Uhr, 23.02.2012

Hallo,
ich bin leider auf dem Sprung und habe nicht viel Zeit.
Aber wenn

K (0) = 16

ist , kann

K

an der gleichen Stelle nicht 8 sein! Da muss ein Fehler sein?!

tam003 aktiv_icon

10:15 Uhr, 23.02.2012

aaah, ich hab bei

K' (0) = 8

den strich vergessen

(1

. ableitung)
genauso wie bei

K' (2) = 2

irena

10:18 Uhr, 23.02.2012

dann hast du noch folgende Bedingungen:

K' (0) = 8

K' (2) = 2

\to

du musst die 1.Ableitung bilden und dann einsetzen

tam003 aktiv_icon

10:19 Uhr, 23.02.2012

ja hab ich bereits gemacht, das passt auch!
nur bei

K (2) = 12

(wo ein Querstrich über

K

ist) weiß ich nicht wie ich das einsetzen soll?

irena

10:21 Uhr, 23.02.2012

das weiß ich leider auch nicht, vielleicht findet du in deinen Unterlagen einen Hinweis?

tam003 aktiv_icon

10:24 Uhr, 23.02.2012

in meinen Unterlagen steht nur das K(x)(mit Querstrich) die Durchschnittskosten pro Stück an. Um sie zu bestimmen, wird die Kostenfunktion durch die Stückzahl

x

dividiert!

irena

10:26 Uhr, 23.02.2012

Wenn das die Stückkosten sind, dann ist

K (2) = 2 \cdot 12 = 24

die Gesamtkosten

tam003 aktiv_icon

10:33 Uhr, 23.02.2012

danke für deine rückmeldung aber mit

K (2) = 24

komm ich dann nicht hin, leider

: - (

irena

10:33 Uhr, 23.02.2012

Das ist deine 4. Angabe, die du in die Gleichung einsetzt.

tam003 aktiv_icon

10:36 Uhr, 23.02.2012

ja genau, und zwar so:

8 a + 4 b + 8 c + 16 = 24

dann hätt ich alle 4 Gleichungen ,hab ich auch in den TR so reingetippt aber es kommt dann was falsches raus!
Die richtige Lösung wäre: K(x)=0,5x³-3X²+8X+16

irena

10:40 Uhr, 23.02.2012

K (0) = 8 \to d = 16

K' (2) = 2 \to c = 8

K' (2) = 2 \to 2 = 12 a \cdot 4 b + 8

und deine Angabe kommst du auf das richtige Ergebnis!

tam003 aktiv_icon

10:48 Uhr, 23.02.2012

K (0) = d = 16

K' (0) = c = 8

K' (2) = 12 a + 4 b + 8 c = 2

K (2) = 8 a + 4 b + 8 c + 16 = 24

wenn ich das so eingebe komme ich auf K(X)=58,5X³-191X²+8X+16

: - (

irena

15:28 Uhr, 23.02.2012

Hallo,
wie kommst du auf die dritte Zeile? entweder

c

oder 8
richtig ist:20=12a+4b+8

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