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Kostenfunktion

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Kostenfunktion

PythagoWAS aktiv_icon

16:49 Uhr, 09.01.2010

Die Gesamtkosten $K (x)$ eines Herstellers von Schulheften für $x$ Mengeneinheitensollen durch den Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion 3. Grades ausgedrückt werden.

Es liegen folgende Erkenntnisse vor :
- die fixkosten betragen $118$ GE
- für die produktion von 2 Me betragen die Gesamtkosten $240$ GE
für 4 ME $290$ GE und für $16$ ME $1766$ GE
- Die Kapazitätsgrenze liegt bei $19$ ME .

$a)$ Ermittel der KOstenfunktion
$b)$ Bestimmen Sie $K (5), K (10),$ K(12)und $K (15)$ für $K (x) = x^{3} - 15 x^{2} + 87 x + 118$
$c)$ Beschreiben Sie den Verlauf des Graphen von $K$ und interpretieren Sie ihn aus der Sicht der Fabrikanten
$d)$ Eine Produktionseinheit wird für $120$ Ge verkauft . Bestimmen Sie die Erlösfunktion wenn es keine Mengenrabatte gibt . Zeichnen Sie den Graphen in ein Koordinatensystem
$e)$ Bestimmen Sie die Schnittpunkte von Kosten- und Erlösfunktion . Welche Bedeutung haben diese Punkte
$f)$ Geben Sie eine Gleichung der Gewinnfunktion $G$ an und zeichnen Sie ihren Graphen für welche Produktionsmenge ist der gewinn maximal Wie hoch ist der maximale gewinn? gibt es auch einen maximalen verlust ?Bestimmen sie Gewinnschwelle und grenze

Könnte mir jemand bitte eine gute Erklärung für Kostenfunktionen geben ich habe damit meine Peobleme

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Sams83 aktiv_icon

23:08 Uhr, 09.01.2010

Hallo,

Dir wird den Ansatz für die Kostenfunktion ja schon vorgegeben, es soll eine ganzratiionale Funktion 3.Grades sein. Also
$K (x) =$ ax³ $+$ bx² $+$ cx $+ d$

Nun hast Du einige Bedingungen vorgegeben:

Fixkosten betragen $118$ . Das sind die Kosten, die unabhängig von jeder Stückanzahl entstehen $(z . B$ . auch bei Stückzahl $x = 0)$ . Es ist also der Term, der kein $x$ enthält.
$\to d = 118$

Alle anderen Angaben geben jeweils die Gesamtkosten $K (x)$ für verschiedene Stückzahlen $x$ an. Also:
$K (2) = 240$
$K (4) = 290$
$K (16) = 1766$

Dass die Kapazitätsgrenze bei $19$ liegt, bedeutet, dass Dein $x$ nicht größer als $19$ werden darf. Außerdem darf $x$ nicht negativ sein, eine negative Stückzahl macht wohl keinen Sinn. Also gilt für den Definitionsbereich von $x : 0 \leq x \leq 19$

Mithilfe der oben angegebenen Bedingungen kannst Du ein Gleichungssystem für $a, b, c$ aufstellen, dass Du dann lösen musst. Als Ergebnis kommt das in $b)$ beschriebene heraus: $K (x) = x 3 - 15 x 2 + 87 x + 118$

$b)$ hier einfach die x-Werte in die Funktion einsetzen und ausrechnen

Soweit alles klar? Kannst Du die Funktion zeichnen und interpretieren?

PythagoWAS aktiv_icon

14:32 Uhr, 10.01.2010

ich verstehe das mit dem gleichungssytem nicht ganz ich weiß nicht genau wie ich die zahlen einsetzen muss um dann weiterzurechnen

Sams83 aktiv_icon

14:52 Uhr, 10.01.2010

Hallo,

also:
$K (x) =$ ax³ $+$ bx² $+$ cx $+ 118$

Nun jeweils die Werte für $x$ einsetzen:
$K (2) = 240$

$K (2) =$ a*2³ $+$ b*2² $+ c \cdot 2 + 118$

Also:
$8 a + 4 b + 2 c + 118 = 240$

Genauso:
$K (4) = 290$

$64 a + 16 b + 4 c + 118 = 290$

und

$K (16) = 1766$

$4096 a + 256 b + 16 c + 118 = 1766$

Es ergibt sich also das Gleichungssystem:

$8 a + 4 b + 2 c + 118 = 240$

$64 a + 16 b + 4 c + 118 = 290$

$4096 a + 256 b + 16 c + 118 = 1766$

Soweit klar? Kannst Du das auflösen nach $a, b, c$ ?

PythagoWAS aktiv_icon

15:29 Uhr, 10.01.2010

ich ziehe erstmal die fixkosten ab
dann habe ich

$8 a + 4 b + 2 c = 122$
$64 a + 16 b + 4 b = 172$
$4096 a + 256 b + 16 c = 1648$
ich weiß jetzt nur nicht ob ich erst weiter durch 2 teilen soll oder die gleichungen minus rechnen soll

Sams83 aktiv_icon

15:32 Uhr, 10.01.2010

Kürze am besten alle Gleichungen soweit wie möglich. Das macht das weitere Rechnen einfacher...

PythagoWAS aktiv_icon

15:53 Uhr, 10.01.2010

gekürzt habe ich jetzt
$4 a + 2 b + c = 122$
$- 16 a - 4 b - c = - 43$
$- 256 a - 16 b - c = - 103$
ist es jetzt richtig wenn ich die ersten beiden gleichungen mit dem additionsverfahren berechne um das $c$ erstma rauszu kicken ?

Sams83 aktiv_icon

16:06 Uhr, 10.01.2010

Hallo,

bei der ersten Gleichung hast Du vergessen, auch die rechte Seite durch 2 zu teilen.

Dann ist es eine gute Idee, jeweils (1) $+ (2)$ und (1) $+ (3)$ zu rechnen, um das $c$ zu eliminieren. Dann aus den beiden neuen Gleichungen a und $b$ bestimmen

PythagoWAS aktiv_icon

16:59 Uhr, 10.01.2010

ich habe für die kostenfunktion jetzt raus

$K (x) = 14 x^{3} - 249^{2} + 503 x + 118$ ist das so richtig

Sams83 aktiv_icon

17:04 Uhr, 10.01.2010

Hallo,

mein Ergebnis (und auch das in der Aufgabe, mit dem Du in $b)$ weiterrechnen sollst)ist:
$a = 1$
$b = - 15$
$c = 87$

Also:
$K (x) =$ x³ -15x² $+ 87 x + 118$

Möchtest Du Deinen Lösungsweg hier reinstellen, damit wir ihn korrigieren können?

PythagoWAS aktiv_icon

17:29 Uhr, 10.01.2010

$4 a + 2 b + c = 61$
$- 165 a - 4 b - c = - 43$
$- 256 a - 16 b - c = - 103$

$14 a + 2 b + c = 61$
$2 - 16 a - 4 b - c = - 43$
$- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -$
$- 10 a - 2 b = 18$

$14 a + 2 b + c = 61$
$3 - 256 a - 166 b - c = - 103$
$- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -$
$- 252 a - 14 b = - 42$

$- 252 a - 14 b = - 42$
$- 10 a - 2 b = 18 I \cdot - 7$

$- 252 a - 14 b = - 42$
$70 a + 14 b = - 126$
$- - - - - - - - - - - - - - - - - -$
$- 182 a = - 168 I + 182$
$a = 14$

$- 252 \cdot (14) - 14 b = - 42$
$- 3528 - 14 b = - 42 I + 3528$
$- 14 b = 3486 I : - 14$
$b = - 249$

$4 \cdot 14 + 2 \cdot (- 249) + c = 61$
$56 - 498 + c = 61$
$- 442 + c = 61 I + 442$

$c = 503$

Sams83 aktiv_icon

17:47 Uhr, 10.01.2010

Dir passiert der Fehler leider direkt am Anfang beim Addieren von 1 und $2 .$
Die Faktoren vor dem a addieren sich so: $4 a - 16 a = - 12 a$

Also:
(1) $+ (3) : - 12 a - 2 b = 18$

(1) $+ (3)$ hast Du richtig addiert, das weitere Vorgehen (Multiplizieren mit 7 und addieren) sieht vom Vorgehen her auch richtig aus. Versuch's nochmal mit dem korrigierten Wert.

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