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Kostenfunktion bestimmen

Schüler

Tags: Kostenfunktion

anonymous

21:05 Uhr, 14.02.2011

Hallo,
heute mussten wir eine Kostenfunktion erstellen. Ich habe bereits zwei Funktionen, wie mache ich daraus jetzt eine?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DmitriJakov aktiv_icon

21:07 Uhr, 14.02.2011

Welche Funktionen hast Du denn, wie sehen die aus und was sagen die aus?

anonymous

21:14 Uhr, 14.02.2011

100 a + 20 b + 900

und

400 a + 10 b + 900

DmitriJakov aktiv_icon

21:16 Uhr, 14.02.2011

Wärst Du so freundlich ein wenig mehr als nur einen Knochen hinzuwerfen?

anonymous

21:22 Uhr, 14.02.2011

Über die Gesamtkosten

K

eines Betriebs in € ist Folgendes bekannt: Für eine Produktion von

10

Stück entstehen Gesamtkosten von 1050€, bei

20

Stück sind es 1400€.

Bestimmen sie die Kostenfunktion

K

unter der Annahme, dass es sich um eine quadratische Funktion handelt und die Fixkosten

900

Euro betragen.

DmitriJakov aktiv_icon

21:28 Uhr, 14.02.2011

Also, das ist

k (x) = a \cdot x^{2} + b \cdot x + c

mit

c = 900

K (10) = 1050

a \cdot 100 + b \cdot 10 + 900 = 1050

K (20) = 1400

a \cdot 400 + b \cdot 20 + 900 = 1400

So sehen die Gleichungen aus!

Nun, Gleichungssystem mit 2 Unbekannten

. .

. eine Deiner leichtesten Übungen, oder?

anonymous

21:30 Uhr, 14.02.2011

Genau da häng ich. Soll ich das Subtraktionsverfahren nehmen??
Wenn ja, wohin auflösen?

DmitriJakov aktiv_icon

21:34 Uhr, 14.02.2011

Also ich kann das im Kopf ausrechnen ;-)

Wenn Du willst, dann nimm das Subtraktionsverfahren. Multipliziere dazu die erste Gleichung entweder mit

4,

wenn Du a eliminieren willst, oder mit

2,

wenn Du

b

eliminieren willst.

anonymous

21:41 Uhr, 14.02.2011

ach ja, stimmt ja...
ich depp.
kommt das raus?

- 0,5 x^{2} - 35 x + 900

DmitriJakov aktiv_icon

21:47 Uhr, 14.02.2011

Wie wäre es mit

a = 1

und

b = 5

anonymous

22:00 Uhr, 14.02.2011

jaaa, jetzt hab ichs^^
nächste frage zur gleichen aufgabe:
Für welche Produktionsmenge enstehen Gesamtkosten von

1200

Euro?

ich hab da ein problem mit den zwei

x

DmitriJakov aktiv_icon

22:06 Uhr, 14.02.2011

Nun, Du kannst doch sicher quadratische Gleichungen lösen,

z . B

. mit der pq-Formel.

x^{2} + 5 x + 900 = 1200 | - 1200

x^{2} + 5 x - 300 = 0

x_{1; 2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}

anonymous

22:11 Uhr, 14.02.2011

okay, bei der nächsten blicke ich gar nicht mehr durch:
Bestimmen sie die Gewinnzone und den größten Gewinn, wenn die produzierte Menge zum Stückpreis von

85

Euro verkauft wird.

DmitriJakov aktiv_icon

22:21 Uhr, 14.02.2011

Dazu musst Du jetzt eine Gewinnfunktion aufstellen und ihr Maximum ermitteln.

Gewinn=Erlös-Kosten

Die Kostenfunktion hast Du ja schon, nämlich

K (x) = x^{2} + 5 x + 900

Die Erlösfunktion ist Preis mal Menge, also:

E (x) = p \cdot x

. Der Preis ist gegeben, also gilt:

E (x) = 85 x

Daher ist

G (x) = E (x) - K (x) = 85 x - (x^{2} + 5 x + 900) = 85 x - x^{2} - 5 x - 900 = x^{2} + 80 x - 900

Bilde nun die erste Ableitung von

G (x)

und setze sie Null. Dort, wo sie ihre waagrechte Tangente hat, hat sie ihre Extremstellen

x_{0}

. Untersuche noch

G'' (x_{0})

um sicherzustellen, ob es sich um ein Maximum

(G'' (x_{0}) < 0)

oder ein Minimum

(G'' (x_{0}) > 0)

handelt.

anonymous

22:32 Uhr, 14.02.2011

heißt es nicht

- x^{2} + 80 x - 900

?

also

x^{2} - 80 x + 900

DmitriJakov aktiv_icon

22:42 Uhr, 14.02.2011

Ja, Du hast recht, das Minuszeichen vor

x^{2}

hat nicht angeschlagen.

G (x) = - x^{2} + 80 x - 900

Du darfst jetzt allerdings nicht einfach die Vorzeichen umdrehen, denn dann hättest Du eine andere Funktion und nicht mehr

G (x)

anonymous

22:43 Uhr, 14.02.2011

ok, jetzt hab ich die gewinnfunktion.
was muss ich machen?
wie geht angleichen?

DmitriJakov aktiv_icon

22:56 Uhr, 14.02.2011

Mach einfach eine kleine Kurvendiskussion dieser Gewinnfunktion: Wo hat sie ihre Nullstellen, wo wird sie positiv, wo ist sie negativ. Und wo ist ihr Maximum.

anonymous

22:58 Uhr, 14.02.2011

okay, fangen wir mit den nullstellen an:
da sie mitt

- x^{2}

beginnt, kann ich die pq-formel schon mal vergessen.
sonst eine möglichkeit??

DmitriJakov aktiv_icon

23:04 Uhr, 14.02.2011

Sobald Du sie Null gesetzt hast, darfst Du sie natürlich mit

- 1

multiplizieren. Und dann geht auch die pq-Formel. Alternativ bleibt immer die Mitternachtsformel:

x_{1; 2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

Aber wie gesagt, die braucht es nicht unbedingt.

anonymous

23:08 Uhr, 14.02.2011

ok, nullstellen hab ich. was nun?

DmitriJakov aktiv_icon

23:13 Uhr, 14.02.2011

Nur zur Kontrolle: Wie lauten sie?

Und weiter im Text: Bestimme die Extrempunkte von

G (x)

mit Hilfe der ersten Ableitung. Bestimme die Art der Extrempunkte (Minimum oder Maximum) mit Hilfe der zweiten Ableitung.

anonymous

23:16 Uhr, 14.02.2011

sie lauten ca

64,46

und ca

13,54

wie geht das denn mit der ableitung?

DmitriJakov aktiv_icon

23:32 Uhr, 14.02.2011

Ableitung einer Funktion:

Beispiel:

f (x) = x^{2} + 5 x - 20

f' (x) = 2 x + 5

So etwas musst Du mit Deiner Gewinnfunktion machen.

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