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Kotangens differenzierbar

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Stetigkeit

Tags: Stetigkeit

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ralph123

ralph123 aktiv_icon

14:47 Uhr, 09.06.2021

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Hallo, ich muss zeigen, dass der Kotangens differenzierbar ist und die Ableitung dann bilden. Die Ableitung habe ich schon gebildet, aber wie soll ich formal zeigen, dass der cot differenzierbar ist?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Nachhilfe in Mathematik

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DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

14:48 Uhr, 09.06.2021

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Als inverse Funktion einer diff-baren Funktion.

ralph123

ralph123 aktiv_icon

17:54 Uhr, 09.06.2021

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c o t (x) = \frac{1}{t a n (x)} = \frac{c o s (x)}{s i n (x)} .

Für die Differenzierbarkeit muss man sich doch zeigen, dass der Grenzwert existiert:

l i m_{x \to x_{*}} \frac{\frac{c o s (x)}{s i n (x)} - \frac{c o s (x_{*})}{s i n (x_{*})}}{x - x_{*}} = l i m_{x \to x_{*}} \frac{(\frac{c o s (x)}{s i n (x)} - \frac{c o s (x_{*})}{s i n (x_{*})}) * (\frac{c o s (x)}{s i n (x)} + \frac{c o s (x_{*})}{s i n (x_{*})})}{(x - x_{*}) * (\frac{c o s (x)}{s i n (x)} + \frac{c o s (x_{*})}{s i n (x_{*})})}

=

l i m_{x \to x_{*}} \frac{\frac{c o s (x)^{2}}{s i n (x)^{2}} - \frac{c o s (x_{*})^{2}}{s i n (x_{*})^{2}}}{(x - x_{*}) * (\frac{c o s (x)}{s i n (x)} + \frac{c o s (x_{*})}{s i n (x_{*})})}

Jetzt komme ich nicht mehr weiter

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ledum

ledum aktiv_icon

18:25 Uhr, 09.06.2021

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Hallo
bring direkt den Bruch im Zähler auf den Hauptnenner, dann benutze dass Additionstheorem für

sin (a - b)

lul

ralph123

ralph123 aktiv_icon

18:58 Uhr, 09.06.2021

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Also so?:

l i m_{x \to x_{*}} \frac{\frac{c o s (x)}{s i n (x)} - \frac{c o s (x_{*})}{s i n (x_{*})}}{x - x_{*}} = l i m_{x \to x_{*}} \frac{\frac{c o s (x) s i n (x_{*})}{s i n (x)} - \frac{c o s (x_{*}) * s i n (x *)}{s i n (x_{*})}}{x - x_{*}} = l i m_{x \to x_{*}} \frac{\frac{c o s (x) s i n (x_{*}) - c o s (x_{*}) * s i n (x)}{s i n (x) * s i n (x_{*})}}{x - x_{*}}

=

l i m_{x \to x_{*}} \frac{c o s (x) s i n (x_{*}) - c o s (x_{*}) * s i n (x)}{(x - x_{*}) * s i n (x) * s i n (x_{*})} = l i m_{x \to x_{*}} \frac{s i n (x_{*} - x)}{(x - x_{*}) * s i n (x) * s i n (x_{*})}

Wäre das soweit richtig, und wie mache ich da weiter?

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ermanus

ermanus aktiv_icon

09:41 Uhr, 10.06.2021

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Hallo,
nun benutze

lim_{h \to 0} \frac{\sin (h)}{h} = 1

.
Gruß ermanus

ralph123

ralph123 aktiv_icon

16:04 Uhr, 10.06.2021

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lim_{x \to x_{*}} \frac{s i n (x_{*} - x)}{(x - x_{*}) * s i n (x) * s i n (x_{*})} = lim_{h \to 0} \frac{s i n (h)}{(h)} * lim_{x \to x_{*}} \frac{1}{s i n (x) * s i n (x_{*})} = \frac{1}{s i n^{2} (x_{*})}

Das kann doch aber nicht stimmen, da doch

- \frac{1}{s i n^{2} (x_{*})}

rauskommen müsste.

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ermanus

ermanus aktiv_icon

16:53 Uhr, 10.06.2021

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In deinem konkreten Fall steht da

\sin (- h)

...

Frage beantwortet

ralph123

ralph123 aktiv_icon

16:56 Uhr, 10.06.2021

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Achso , danke

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