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Kovergenz Reihen: Kriterien

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen, Konvergenz, Quotientenkriterium, Reihen, Vergleichskriterium, Wurzelkriterium

flowerpower1234 aktiv_icon

14:54 Uhr, 17.05.2012

Hallo zusammen!

Ich bräuchte ein wenig Hilfe bei der Untersuchung der Reihe (siehe Bild) auf Konvergenz.

zu (iii) Da hab ich das Quotientenkriterium benutzt

\frac{(n + 1)!}{{(n + 1)}^{n + 1}} \cdot \frac{n^{n}}{n!} = \frac{(n + 1) \cdot n! \cdot n^{n}}{{(n + 1)}^{n} \cdot (n + 1) \cdot n!} = {(\frac{n}{n + 1})}^{n} = {(\frac{1}{1 + \frac{1}{n}})}^{n}

lim_{n \to \infty} {(\frac{1}{1 + \frac{1}{n}})}^{n} = \frac{1}{e} < 1 \Rightarrow

absolute Konvergenz

zu (ii) Da hab ich auf mal das Quotientenkriterum versucht, bin mir aber etwas unsicher...

\frac{2^{\frac{n + 1}{2}}}{(n + 1)!} \cdot \frac{n!}{2^{\frac{n}{2}}} = \frac{{(2^{n + 1})}^{\frac{1}{2}} \cdot (n!)}{(n!) (n + 1) \cdot {(2^{n})}^{\frac{1}{2}}} = \frac{{(2 \cdot 2^{n})}^{\frac{1}{2}} \cdot (n!)}{(n!) (n + 1) \cdot {(2^{n})}^{\frac{1}{2}}} = \frac{2^{\frac{1}{2}} \cdot {(2^{n})}^{\frac{1}{2}} \cdot (n!)}{(n!) \cdot (n + 1) \cdot {(2^{n})}^{\frac{1}{2}}}

= \frac{2^{\frac{1}{2}}}{n + 1} = \frac{\sqrt{2}}{n + 1} = \sqrt{2} \cdot \frac{1}{n + 1}

lim_{n \to \infty} \sqrt{2} \cdot \frac{1}{n + 1} = 0 < 1 \Rightarrow

absolute Konvegenz

zu

(i)

Bei dieser Reihe wusste ich nicht so recht welches Kriterium sicher überaupt anbietet...ich dachte vielleicht das Majorantenkriterum

\frac{1}{\sqrt{n!}} < \frac{1}{\sqrt{n! \cdot n!}} = \frac{1}{n!} = \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot ... \frac{1}{n - 1} \cdot \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n + 1}

Geht das in die richtige richtung

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Shipwater aktiv_icon

16:31 Uhr, 18.05.2012

1) :

Deine Abschätzung ist falsch, da du ja den Nenner vergrößerst (für

n \geq 2)

und somit den Wert des Bruchs verringerst. Versuch doch auch hier mal das Quotientenkriterium anzuwenden.

2)

und

3)

sollten soweit passen.

flowerpower1234 aktiv_icon

20:37 Uhr, 18.05.2012

Danke erstmal, Shipwater !

zu

(i)

hab ich jetzt folgendes gemacht...

\frac{\frac{1}{\sqrt{(n + 1)!}}}{\frac{1}{\sqrt{n!}}} = \frac{1}{\sqrt{(n + 1)!}} \cdot \frac{\sqrt{n!}}{1} = \sqrt{\frac{n!}{(n + 1)!}} = \sqrt{\frac{n!}{(n!) \cdot (n + 1)}} = \sqrt{\frac{1}{n + 1}} = \frac{1}{\sqrt{n + 1}}

lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n + 1}} = 0 < 1

\Rightarrow

abs. Konvergenz

So richtig?

Dann käm ja dreimal Konvergenz heraus...kann das stimmen? Kann mir nochmal jemand sagen, welche Kriterien sich vielleicht noch bei einer Reihe besonders eignen könnten? Mir fällt das nicht so ins Auge und ich möchte zur Übung mal verschiedene Wege ausprobieren.

Vielen Dank für jede weitere Hilfe!

Shipwater aktiv_icon

21:02 Uhr, 18.05.2012

Ja das ist richtig. Und es kommt halt wirklich dreimal "Konvergenz" raus, davon darf man sich nicht verwirren lassen.
Und wenn Quotientenkriterium hinhaut, dann haut auch Wurzelkriterium immer hin. Siehe:
http//de.wikipedia.org/wiki/Wurzelkriterium#Das_Wurzelkriterium_ist_sch.C3.A4rfer_als_das_Quotientenkriterium
Vergleichskriterium ist auch immer anwendbar, nur sind die Abschätzungen halt mal mehr und mal weniger trivial.

oculus aktiv_icon

21:06 Uhr, 18.05.2012

Hallo flowerpower,

s_{n} = \frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{1 \cdot 2}} + \frac{1}{\sqrt{1 \cdot 2 \cdot 3}} + ... + \frac{1}{\sqrt{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot . . \cdot n}} < \frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2^{2}}} + ... + \frac{1}{\sqrt{2^{n - 1}}}

.
Setzt du

a = \sqrt{2},

so hast du die Majorante

1 + \frac{1}{a} + \frac{1}{a^{2}} + . . + \frac{1}{a^{n - 1}}

. Darauf das Quotientenkriterium angewandt ergibt

\frac{1}{a} < 1

weil

a > 1

.
Irrtum vorbehalten

!!!

Gruß

oculus

flowerpower1234 aktiv_icon

14:42 Uhr, 21.05.2012

Hallo zusammen !

Ich hab nochmal über die Reihe

\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{\sqrt{(n!)}}

nachgedacht.

Wenn man versucht die Konvergenz über das Majorantenkriterium herauszufinden komme ich zu folgendem Ergebnis

\frac{1}{\sqrt{n!}} \leq \frac{1}{\sqrt{n}} \leq \frac{1}{n}

Und die Reihe

\frac{1}{n}

divergiert ja. Demnach würde auch meine betrachtete Reihe divergieren...was ist nun korrekt, die obere Lösung mit dem Quotientenkriterium oder diese??

Danke schnonmal im Voraus!

Shipwater aktiv_icon

15:09 Uhr, 21.05.2012

Deine Reihe ist kleiner als die divergente harmonische Reihe. Diese Aussage bringt dir aber überhaupt nichts. Nur wenn deine Reihe größer als eine divergente Reihe ist, ist sie selbst divergent. Du hast zu stark abgeschätzt.
Außerdem ist

\frac{1}{\sqrt{n}} \leq \frac{1}{n}

einfach falsch!
Du könntest neben dem Ansatz von oculus zum Beispiel auch zeigen, dass

n! \geq n^{4}

ffa

n \in ℕ

gilt. Daraus folgt nämlich

\frac{1}{\sqrt{n!}} \leq \frac{1}{\sqrt{n^{4}}} = \frac{1}{n^{2}}

ffa

n \in ℕ

und damit dann die Konvergenz, weil

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}

ja bekanntlich konvergiert.

flowerpower1234 aktiv_icon

16:15 Uhr, 23.05.2012

Okay, vielen Dank für die Antwort! Mir ist jetzt einige klarer.

Shipwater aktiv_icon

17:29 Uhr, 23.05.2012

Super, viel Erfolg weiterhin.

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