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Kovergierende Folge, uneigentliche Konvergenz

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen, Konvergenz, Reihen, uneigentlich

nightlife247 aktiv_icon

13:22 Uhr, 07.04.2010

Ich sitze an folgender Aufgabenstellung:
Welche der Folgen

({(- 1)}^{n} \cdot n^{2}), (- n^{2})

und

(1 + n^{2})

konvergiert uneigentlich und wie? (mit Begründung!)

Soweit ich es verstanden hat, ist mit dem Begriff "konvergiert uneigentlich" gemeint dass die Folge gegen

+

bzw. - unendlich (uneigentlich) konvergiert.

Ich versuche es einfach mal:

({(- 1)}^{n} \cdot n^{2})

divergiert. Wenn man den Term in zwei Ausdrücke aufspaltet, kann man erkennen dass

{(- 1)}^{n}

oszilliert,

d . h

. fortlaufend zwischen

- 1

und 1 springt.

n^{2}

konvergiert mit größer werdenden

n

gegen unendlich. Kombiniert man beide Ausdrücke, so springt der Term mit

n

gegen unendlich zwischen

+

und - unendlich.

(- n^{2})

konvergiert mit größer werdenden

n

gegen - unendlich. Somit konvergiert die Folge uneigentlich.

(1 + n^{2})

kann auch, wie im ersten Fall in zwei Ausdrücke aufgespaltet werden: 1 und

n^{2}

. 1 bleibt

1,

konvergiert also gegen 1.

n^{2}

konvergiert für sich gesehen uneigentlich, da es für größer werdende

n

gegen

+

unendlich läuft. In der Summe konvergiert die Folge also uneigentlich.

Soweit, so gut. Aber ich wäre nicht ich wenn die

⊙ g

. Angaben voller Fehler wären. Darüber hinaus zweifle ich an der Stichhaltigkeit meiner Begründungen

. .

. kann mir jemand, gegebenenfalls mit einer Lösung helfen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

hagman aktiv_icon

13:39 Uhr, 07.04.2010

a_{n}

konvergiert uneigentlich gegen

+ \infty

(bzw.

- \infty),

wenn es zu jedem

L \in ℝ

ein

N

gibt mit

a_{n} > L

(bzw.

a_{n} < L)

für alle

n > N

.

Bei

a_{n} = {(- 1)}^{n} \cdot n^{2}

ist dies nicht der Fall, da beispielsweise für

L = 0

abwechselnd

a_{n} > L

und

a_{n} < L

gilt.

Bei

a_{n} = - n^{2}

kann man zu gegebenem

L

einfach

N > \sqrt{| L |}

wählen und hat dann die Bedingung

a_{n} < L

für alle

n > N

erfüllt.
Bei

a_{n} = 1 + n^{2}

entsprechend

a_{n} > L

für

n > N,

sofern man

N > \sqrt{| L |}

wählt.

nightlife247 aktiv_icon

13:52 Uhr, 07.04.2010

. .

. oh mein Gott. Das ist also (eine mögliche) Lösung der Aufgabe? Die Begründungen die ich gegeben habe sind vermutlich wertlos?

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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