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Kraftwerk, Hyperbel

Schüler Hauptschule, 5. Klassenstufe

Tags: Rotation

discomaedchen aktiv_icon

12:18 Uhr, 06.11.2011

Der Kühlturm eines Kraftwerks hat die Gestalt eines Drehhyperboloids. Der Radius an der engsten Stelle beträgt

12 m (\to a)

und befindet sich

18 m

über dem Boden. Der Kühltürm endet

10 m

über der engsten Stelle und hat dort einen Radius von

13

Metern.

a)

Bestimme die Gleichung der Hyperbel, deren Rotation diesen Kühltürm beschreibt in einem geeigneten Koordinatensystem.

b)

Berechne das Volumen

ad

a)

Um welche Achse wird überhaupt rotiert?
Die Gleichung einer Hyperbel lautet allgemein formuliert:

x²/a²-y²/b²=1

a ist

12

(engste Stelle)
Und ich habe zwei Punkte der Hyperbel:

A (12 | 18) B (13 | 28)

Dann hab ich Punkt

A

in die Hyperbelgleichung eingestzt, um

b

zu berchnen:

(12²/12²)-18²/b²=1
1-18²/b²=1

b = 0

???

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DmitriJakov aktiv_icon

12:33 Uhr, 06.11.2011

a = 12

ist schonmal ganz gut. Die engste Stelle ist dann auf der x-Achse. Das solltest Du auch zunächst einmal so lassen. Den Külturm nach oben verschieben kannst Du später auch.

Du hast bisher:

\frac{x^{2}}{12^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

Jetzt setzt Du die Information ein, dass

10

Meter über der engsten Stelle der Radius

13

Meter beträgt:

y = 10, x = 13

\frac{13^{2}}{12^{2}} - \frac{10^{2}}{b^{2}} = 1

\frac{13^{2}}{12^{2}} - 1 = \frac{10^{2}}{b^{2}} | \cdot b^{2}

b^{2} (\frac{13^{2}}{12^{2}} - 1) = 10^{2}

b^{2} = \frac{10^{2}}{\frac{13^{2}}{12^{2}} - 1}

b^{2} = \frac{10^{2}}{\frac{169 - 144}{144}} = \frac{10^{2}}{\frac{25}{144}} = \frac{10^{2} \cdot 12^{2}}{5^{2}}

b = 24

discomaedchen aktiv_icon

12:48 Uhr, 06.11.2011

"Jetzt setzt Du die Information ein, dass

10

Meter über der engsten Stelle der Radius

13

Meter beträgt: y=10,x=13"

müsste

y

dann nicht

28

und

x 13

sein?

DmitriJakov aktiv_icon

12:53 Uhr, 06.11.2011

Die Verschiebung der engsten Stelle von gegenwärtig Null auf die Höhe

18

Meter wollte ich in einem späteren Schritt machen. Wenn Du jetzt bereits

y = 28

und

x = 13

anlegst, dann bekommst Du eine Hyperbel, die den Radius

13

Meter erswt

28

Meter über der engsten Stelle erreicht.

discomaedchen aktiv_icon

12:56 Uhr, 06.11.2011

asoo^^ und wie muss ich jetzt das volumen berechnen? weil in der angabe ist es nicht angegeben, welche achse gemeint ist. es lediglich von einer rotation die rede.

DmitriJakov aktiv_icon

13:15 Uhr, 06.11.2011

Du weisst doch bestimmt wie so ein Kühlturm aussieht, oder? Ich habe Dir jetzt mal eine Zeichnung angehängt (Ich hoffe sie klappt)

Du kanst das Ganze jetzt aber auch kippen, indem Du

x

und

y

vertauscht. Dann kannst Du den Turm auch um die x-Achse rotieren lassen. Je nachdem was Dir leichter fällt.

Zu diesem Beitrag wurde eine digitale Zeichnung hinzugefügt:

Zeichnung betrachten

discomaedchen aktiv_icon

13:55 Uhr, 06.11.2011

gut, dann hätt ich eine letzte frage: in welchem intervall muss es rotiert werden (x-achse)?

DmitriJakov aktiv_icon

14:02 Uhr, 06.11.2011

Das kommt jetzt drauf an wie Deine Gleichung nun lautet. Die Intervall-Länge muss

28

betragen. Aber ich weiss nicht was Du in der Zwischenzeit mit der Hyperbelgleichung gemacht hast ;-)

discomaedchen aktiv_icon

14:16 Uhr, 06.11.2011

um ehrlich habe ich in der zwischenzeit 90prozent dafür verwendet, mir ein frühstück zu machen, und nur 10prozent mich mathematischen sachproblemen beschäftigt.

das problem für mich ist eigentlich.. ja. das ich keine ahnung habe, wie ich mir so ein hyperbeloid vorstellen soll, da wir in der schule hauptsächlich nur mit paraboloiden gearbeit haben.

zurück zum hyperbeloid:

Vx=pi

\cdot

int

[

a,b]y²dx

dafür muss ich die hyperbelgleichung folgendermaßen umformen (nach y²):

y²=4x²-576

ich würde als intervall den radius

[

12;13]heranziehen... und nicht

28

discomaedchen aktiv_icon

14:17 Uhr, 06.11.2011

die hyperbelgleichung war und ist richtig:

x²/12²-y²/576=1

DmitriJakov aktiv_icon

14:46 Uhr, 06.11.2011

Die Hyperbelgleichung lautet im Moment:

y = \sqrt{4 x^{2} - 24^{2}}

Und damit die engste Stelle nun auf

18

Meter Höhe kommt, musst Du

18

hinzuaddieren:

y = \sqrt{4 x^{2} - 24^{2}} + 18

Die x-Achse ist nun der Boden

Jetzt legst Du das Ganze auf die Seite, damit Du erstens eine Funktion erhältst (jedem x-Wert soll höchstens ein y-Wert zugeordnet sein) und zweitens das Profil um die x-Achse rotieren lassen kannst: Du vertauscht nun

x

und

y

und löst erneut nach

y

auf.

x = \sqrt{4 y^{2} - 24^{2}} + 18

x^{2} = . .

. das ist jetzt aber bei dieser verschobenen Hyperbel mehr als ekelhaft. Gehen wir also wieder zur Ursprünglichen Hyperbel:

\frac{x^{2}}{12^{2}} - \frac{y^{2}}{24^{2}} = 1

Vertauschen von

x

und y:

\frac{y^{2}}{12^{2}} - \frac{x^{2}}{24^{2}} = 1

y^{2} = x^{2} \cdot \frac{12^{2}}{24^{2}} + 12^{2}

y^{2} = \frac{1}{4} x^{2} + 144

Und eine Verschiebung könnte man jatzt vornehmen, indem man

x

durch

(x - 18)

ersetzt. Aber man kann auch die Integrationsgrenzen bei

- 18

und

+ 10

definieren. Der Rotationskörper hat somit ein Volumen von:

V = π \cdot \int_{- 18}^{10} \frac{1}{4} x^{2} + 144 d x

discomaedchen aktiv_icon

15:01 Uhr, 06.11.2011

DANKE!

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