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Kreis-Teilfläche festlegen, Flächen-Inhalt bekannt

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Geometrie, Kreisfläche, Teilfläche

ApoaJonnz aktiv_icon

20:19 Uhr, 13.08.2011

Hey,
ich hab folgendes Problem.
Die tor umrandete, schraffierte Fläche muss festgelegt werden.
Flächeninhalt und Kreisradius sind bekannt.
Um die Fläche eindeutig definieren zu können brauche ich also den Abstand der gerade Schnittkante zum Mittelpunkt, die Länge dieser Kante oder den Winkel des Kreissektors.
ich habe bisher nur numerische Lösungen gefunden.

Wäre sehr dankbar, wenn jemand helfen könnte!

Lg, Jonnz

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DmitriJakov aktiv_icon

20:34 Uhr, 13.08.2011

Kannst Du eine Formel für den Flächeninhalt der rot umrandeten Fläche aufstellen?
(ich gehe mal davon aus, dass der Flächeninhalt dieser Fläche gegeben ist und Du nun die Breite der Fläche berechnen sollst)

ApoaJonnz aktiv_icon

21:03 Uhr, 13.08.2011

Ja klar, der Inhalt ließe sich ja berechnen entweder über
Kreisfläche

- 2 \cdot

(Kreissektorfläche - Dreicksfläche)

oder über die Summe der beiden Kreissektorflächen und der beiden Dreiecksflächen die die zu bestimmende Fläche bilden.

Das Problem ist, dass ich dann eine der beiden folgenden Gleichungen erhalte:

Π - \frac{A}{r^{2}} = 2 \cdot Π \cdot \frac{α}{360} - sin (α)

\frac{A}{r^{2}} = sin (α) + 2 \cdot Π \cdot \frac{180 - α}{360}

wobei

α

jeweils den Winkel des Kreissektors beschreibt, der die gerade Schnittkante einschließt.
Das Problem ist, dass ich die Gleichungen nicht nach Alpha auflösen kann...
Ich hab jetz zwar eine für meine Zwecke ausreichende Näherung über ne numerische Lösung durch Excel erreicht, aber mich würde einfach interessieren, wie man das exakt lösen kann...

DmitriJakov aktiv_icon

21:15 Uhr, 13.08.2011

Ich bin etwas anders vorgegangen, bekomme aber ebenfalls keine Gleichung, die sich nach dem Abstand a=Mittelpunkt bis rote Linie auflösen lässt. Ich ging so vor:

a^{2} + y^{2} = r^{2}

y = \sqrt{r^{2} - a^{2}}

rote Fläche=

4 \cdot \int_{0}^{a} \sqrt{r^{2} - x^{2}}

= 4 \cdot (\frac{a}{2} \sqrt{r^{2} - a^{2}} + \frac{r^{2}}{2} \cdot

arcsin

(\frac{a}{r}))

Shipwater aktiv_icon

22:10 Uhr, 13.08.2011

Die rot umrandete Fläche habe den Flächeninhalt

A_{r}

. Dann ergibt sich für den Flächeninhalt der Kreissegmente jeweils

A_{k} = \frac{π r^{2} - A_{r}}{2}

. Über

A_{k} = r^{2} a r c c o s (1 - \frac{h}{r}) - \sqrt{2 r h - h^{2}} \cdot (r - h)

könnte man dann theoretisch die Segmenthöhe

h

ermitteln. Aber praktisch scheitert das wieder daran, dass die Gleichung analytisch nicht lösbar ist. Ich befürchte, dass es hier ohne Numerik nicht geht.

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