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Kreis aus Kreissehnenlänge und Kreissektorfläche

Universität / Fachhochschule

Tags: Funktion, Geometrie, Kreis, Kreisausschnitt, Kreissehne, Kreissektor

BloodyGeek aktiv_icon

14:28 Uhr, 11.09.2019

Hallo!

Folgendes Problem bereitet mir momentan ziemliches Kopfzerbrechen:
Ich habe in einem Kreis mit Kreisausschnitt die sehnenlänge

s

und den Flächeninhalt des Ausschnitts A gegeben. Daraus soll ich nun Radius, Sektorwinkel und Bogenlänge berechnen.
Mein bisheriger Lösungsansatz war eine der beiden Formeln A oder

s

nach

r

bzw

α

umzustellen und in die andere einzusetzen, um anschließend mit der Newton Methode den Wert der Nullstelle zu berechnen.
Das Problem ist nun, dass es bei dieser Rechnung unendlich viele Nullstellen erhalte und ich bis jetzt nur durch ausprobieren und "logik" den richtigen Wert ermittle.

Ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand einen eleganteren Lösungsweg erklären könnte!

Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kreiszahl (Mathematischer Grundbegriff)
Kreis (Mathematischer Grundbegriff)
Elementare Kreisteile (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

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und was bringt sie mir?

Roman-22

14:52 Uhr, 11.09.2019

>

Mein bisheriger Lösungsansatz war eine der beiden Formeln
???

> A

oder

s

nach

r

bzw α umzustellen und in die andere einzusetzen, um anschließend mit der Newton Methode den Wert der Nullstelle zu berechnen.
Naja, an dem Ansatz wäre ja grundsätzlich nichts auszusetzen.

>

Das Problem ist nun, dass es bei dieser Rechnung unendlich viele Nullstellen erhalte
??? meinst du bei der Winkelberechnung wegen der Mehrdeutigkeit der Umkehrung der Winkelfunktionen?
Newton liefert dir doch immer nur einen Wert, abhängig vom ersten Schätzwert.

>

und ich bis jetzt nur durch ausprobieren und "logik" den richtigen Wert ermittle.
An der Verwendung von "Logik" ist ja ebenfalls nichts zu bekritteln.
Vielleicht ist das, was du etwas geringschätzig mit "logik" bezeichnest mathematisch gesehen eine wichtige Nebenbedingung, die noch zusätzlich zu beachten ist.

Ich denke, es wäre das Beste, wenn du deine Rechnung mit den konkreten Werten hier mal einstellen würdest, damit wir sehen, an welcher Stelle du scheiterst und wie du zu unendlich vielen Lösungen kommst.
Auch wäre zu klären, ob wir voraussetzen dürfen, das der Zentriwinkel deines Kreisausschnitts immer im Bereich 0 bis

π

liegt oder ob dieser auch ein erhabener Winkel sein könnte.

Atlantik aktiv_icon

16:12 Uhr, 11.09.2019

Der Weg wäre wahrscheinlich auch möglich:

Die Sehnenlänge sei

s = 6

und Fläche des Kreisausschnitts sei

12 F E :

k_{r} : x^{2} + y^{2} = r^{2}

y = \frac{s}{2} = 3

schneidet Kreis in :

x^{2} + 9 = r^{2}

x = \sqrt{r^{2} - 9} \to P (\sqrt{r^{2} - 9} | 3)

Dreieckfläche:

A_{1} = \frac{3}{2} \cdot \sqrt{r^{2} - 9}

Kreisabschnittfäche:

A_{2} = \int_{\sqrt{r^{2} - 9}}^{r} \sqrt{r^{2} - x^{2}} \cdot d x

6 = A_{1} + A_{2} = \frac{3}{2} \cdot \sqrt{r^{2} - 9} + \int_{\sqrt{r^{2} - 9}}^{r} \sqrt{r^{2} - x^{2}} \cdot d x

Ich kann jetzt nicht das Integral berechnen.

mfG

Atlantik

B i l d :

Roman-22

18:24 Uhr, 11.09.2019

>

Die Sehnenlänge sei

s = 6

und Fläche des Kreisausschnitts sei 12FE:
Damit gibts leider keine Lösung. Die Fläche müsste für

s = 6

mindestens

12,5

FE sein.
Nimm lieber

A = 16,

das entspricht eher deiner Zeichnung

(r \approx 4.967

und

α \approx 1,297)

.

Und für den Fall, dass du noch weiter mit Kanonen auf Spatzen schießen möchtest

\int \sqrt{r^{2} - x^{2}} d x = \frac{x}{2} \cdot \sqrt{r^{2} - x^{2}} + \frac{r^{2}}{2} \cdot a r c c s i n (\frac{x}{r}) + C

Viel Spaß beim Auflösen deiner Gleichung nach

r

;-)

BloodyGeek aktiv_icon

19:23 Uhr, 11.09.2019

Danke erstmal für die Antworten!

Das ist meine bisherige Formel mit

A = 8

und

s = 3

f (x) = {(\frac{s}{sin (\frac{x}{2})} / 2)}^{2} \cdot π \cdot \frac{x}{360} - A

ist meine Funktion. Ich habe die Formel für

s

nach

r

aufgelöst:

r = \frac{s}{sin (α)} / 2

und in die Formel für den Flächeninhalt

0 = r^{2} \cdot π \cdot \frac{α}{360}

eingesetzt. Anschließend 3 und 8 eingesetzt.

\Rightarrow {(\frac{3}{sin (\frac{x}{2})} / 2)}^{2} \cdot π \cdot \frac{x}{360} - 8

ist meine Formel.

Roman-22

20:03 Uhr, 11.09.2019

>

⇒(3sin(x2)/2)2⋅π⋅x360-8

>

ist meine Formel.
Ist richtig, allerdings ist das weder eine Formel noch eine Gleichung. Das ist nur ein Term.
Du meintest

f (x) = . .

. und suchst davon die Nullstelle(n).
Außerdem sollte es

360^{\circ}

und nicht einfach nur

360

lauten, sonst ist es falsch.

Du solltest überhaupt besser im Bogenmaß bleiben, wiewohl bei richtiger Beachtung des Pseudoeinheit °=

\frac{π}{180}

die Rechnung auch damit möglich sein sollte (allerdings ein wenig aufwändiger und fehleranfälliger wird).

Wo liegt nun dein Problem. Natürlich hat diese Funktion unendlich viele Nullstellen, aber nur eine im Bereich 0 bis

π

und der scheint doch der einzig Interessierende zu sein, oder?

Also nimm einen entsprechenden Startwert für

x

(zB 1 oder besser

0.5)

und wende dein bevorzugtes Näherungsverfahren darauf an oder setze einen TR mit solve-Funktion ein.
Das Ergebnis

x \approx 0,578

ist natürlich ein Winkelwert im Bogenmaß und entspricht ca. 33°.
Damit ist es dann leicht, auch den Radius

r

oder den Bogen

b

zu berechnen.

BloodyGeek aktiv_icon

20:37 Uhr, 11.09.2019

Okay das mit dem Bogenmaß hatte mir wohl das Genick gebrochen.
Da habe ich ein bisschen geschlampt...
Ja, du hast Recht, jetzt geht es voran und ich kann mit newton problemlos die Nullstellen berechnen.

Vielen, vielen lieben Dank dir, du hast mich echt gerettet!

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