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Kreise,Aufgaben

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Kreisgleichung

LasVegas aktiv_icon

21:44 Uhr, 07.01.2011

1.)Welche der folgenden Gleichungen beschreibt einen Kreis?

a) x^{2} + y^{2} - 4 x - 8 y - 5 = 0

b) x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y + 20 = 0

c) x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y = - 20

d) x^{2} + y^{2} - 6 x + 10 y = - 18

ich bin leicht irritiert,beschreiben nicht alle Gleichungen einen Kreis?

2.)Ein pilot kann mit seiner maschine mit einer tankfüllung bis zu

650

km fliegen.
Bezogen auf seinen Startpunkt Omega als Koordinatenursprung haben die Farmen Alpha,Beta und

Γ

die Koordinaten

A (180; 240) B (- 260; 230) C

(-280;100).Welche Farm sollte er nicht anfliegen,wenn er mit einer tankfüllung wieder sicher zurückkehren will?

Mein Ansatz:

k : {(x + 0)}^{2} + {(y + 0)}^{2} = 650

dann hätte ich die Punkte

A, B

und

C

jeweils in die Gleichung eingesetzt und geguckt,ob auf der linken Seite der Wert kleiner,gleich

650

ist. Ist meine Überlegung richtig?

michael777 aktiv_icon

21:50 Uhr, 07.01.2011

2)

die Entfernung muss quadriert werden (Pythagoras bzw. Abstandsformel zweier Punkte)

da er hin und zurückfliegt, darf die einfache Entfernung nicht größer als

(\frac{650}{2})

sein

also

x^{2} + y^{2} \leq {(\frac{650}{2})}^{2}

das wären alle Punkte innerhalb und auf dem Kreis mir dem Radius

325

um den Ursprung

LasVegas aktiv_icon

21:54 Uhr, 07.01.2011

ah das mit dem Quadrieren hatte ich total vergessen,stimmt.
Und da er ja hin UND zurück muss durch

2 -

war mir im ersten Moment nicht bewusst ,danke

; P

michael777 aktiv_icon

21:57 Uhr, 07.01.2011

1)

Kreisgleichung in Mittelpunktsformel umwandeln (durch quadratisches Ergänzen)

a)

x^{2} - 4 x + y^{2} - 8 y - 5 = 0

x^{2} - 4 x + 4 - 4 + y^{2} - 8 y + 16 - 16 - 5 = 0

{(x - 2)}^{2} + {(y - 4)}^{2} - 4 - 16 - 5 = 0

{(x - 2)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 5^{2}

Kreisgleichung

b)

x^{2} + 2 x + y^{2} - 4 y + 20 = 0

x^{2} + 2 x + 1 - 1 + y^{2} - 4 y + 4 - 4 + 20 = 0

{(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = - 15

kein Kreis, da auf der rechten Seite

< 0

. .

LasVegas aktiv_icon

19:26 Uhr, 09.01.2011

wieso subtrahierst du im 2.Schritt die absolute Zahl?
also

16 - 16

?
Aus der

- 5

ergibt sich dann der Radius?(quadrierte)
bei 2. kann ich das nicht ganz nachvollziehen da ja eine

20

dasteht?

bei der 1.Frage bin auf folgendes Ergebnis gekommen:
Den Ort

B

sollte er nicht anfliegen da

120500 > 105625

michael777 aktiv_icon

18:46 Uhr, 10.01.2011

"bei der 1.Frage bin auf folgendes Ergebnis gekommen:
Den Ort

B

sollte er nicht anfliegen da 120500>105625"

das ist zwar die Lösung der 2. Aufgabe, aber das Ergebnis ist richtig

michael777 aktiv_icon

18:54 Uhr, 10.01.2011

nochmals zu

1)

gegeben ist eine Gleichung der Form

x^{2}

+ax

+ y^{2}

+bx

+ c = 0

diese wird umgeformt in

{(x - x_{M})}^{2} + {(y - y_{M})}^{2} = r^{2}

hier kann man den Kreismittelpunkt

(x_{M} | y_{M})

und den Radius

r

ablesen

die Umformung erfolgt durch quadratisches Ergänzen (ähnlich wie beim Bestimmen der Scheitelform bei Parabeln)

x^{2}

+ax wird so erweitert, dass die binomische Formel angewendet werden
der Wert des Terms bleibt gleich, wenn man eine Zahl addiert und gleich wieder subtrahiert

x^{2}

+ax

= x^{2}

+ax

+ {(\frac{a}{2})}^{2} - {(\frac{a}{2})}^{2}

die quadratische Ergänzung wurde so gewählt, dass die ersten drei Summanden mittels binomischer Formel als Quadrat geschrieben werden können:

x^{2}

+ax

= x^{2}

+ax

+ {(\frac{a}{2})}^{2} - {(\frac{a}{2})}^{2} = {(x + \frac{a}{2})}^{2} - {(\frac{a}{2})}^{2}

Beispiel

1 a)

x^{2} - 4 x = x^{2} - 4 x + 4 - 4 = (x^{2} - 4 x + 2^{2}) - 4 = {(x - 2)}^{2} - 4

quadratische Ergänzung die Hälfte von 4 (Zahl vor

x)

im Quadrat also

{(\frac{4}{2})}^{2} = 4

das gleiche mit

y :

y^{2} - 8 y = y^{2} - 8 y + 16 - 16 = (y^{2} - 8 y + 16) - 16 = {(y - 4)}^{2} - 16

die gesamte gegebene Gleichung wird wie folgt umgeformt:

[x^{2} - 4 x] + [y^{2} - 8 y] - 5 = 0

[{(x - 2)}^{2} - 4] + [{(y - 4)}^{2} - 16] - 5 = 0

{(x - 2)}^{2} - 4 + {(y - 4)}^{2} - 16 - 5 = 0

nun die alleinstehenden Zahlen zusammenaddieren und auf die rechte Seite der Gleichung bringen:

{(x - 2)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 25

{(x - 2)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 5^{2}

Kreis mit

M (2 | 4)

und

r = 5

nun noch Beispiel

c)

ganz ausführlich:

x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y = - 20

x^{2} - 4 x + y^{2} + 6 y = - 20

[x^{2} - 4 x] + [y^{2} + 6 y] = - 20

quadratische Ergänzungen: bei

x

mit

{(\frac{4}{2})}^{2} = 4,

bei

y

mit

{(\frac{6}{2})}^{2} = 9

[x^{2} - 4 x + 4 - 4] + [y^{2} + 6 y + 9 - 9] = - 20

[x^{2} - 4 x + 4] - 4 + [y^{2} + 6 y + 9] - 9 = - 20

binomische Formel anwenden:

{(x - 2)}^{2} - 4 + {(y + 3)}^{2} - 9 = - 20

einzelne Zahlen zusammenrechnen:

{(x - 2)}^{2} + {(y + 3)}^{2} - 13 = - 20

{(x - 2)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = - 7

rechts steht eine negative Zahl, was dem Quadrat des Radiuses entsprechen soll
das geht nicht, daher ist das keine Kreisgleichung

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