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Kreisfigur

Schüler

Tags: Radius

Mathe11- aktiv_icon

17:52 Uhr, 20.11.2020

Hallo. Wir haben im Mathe Unterricht eine Aufgabe bekommen, die wir freiwillig lösen konnten. Ich will sie aber lösen, da sie mich interessiert. Ich habe bereits mehrere Lösungsansätze gehabt, welche leider alle einen oder mehrere kleine Fehler hatten. Deshalb frage ich hier nach Hilfe/ einer Lösung, weil ich alleine nicht mehr weiter komme. Zu berechnen ist der Radius des großen Kreises in der Mitte. Den Rest der Aufgabe haben wir schon im Unterricht gemacht. Vorgegeben ist der Radius der beiden Halbkreise:

r

. Meinen bisher besten Lösungsansatz tue ich dazu.
Ich bedanke mich im Voraus für Lösungen oder Hilfen. Schönes Wochenende euch allen!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Roman-22

18:26 Uhr, 20.11.2020

Deine Annahme, dass diese eine, in beigefügtem Bild markierte, Strecke

m

wäre, ist falsch und demnach auch die Folgerung, dass

a = 2 r

wäre.

Betrachte doch zB die rot und blau hinterlegten rechtwinkeligen Dreiecke. In beiden ist a eine Kathete. Beschrifte die restlichen Seiten dieser beiden Dreiecke richtig und wende dann für jedes Dreieck Pythagoras an, um a auszurücken. Wenn du die beiden erhlatenene Ausdrücke gleichsetzt, hast du eine Gleichung für

r_{2},

die du sicher leicht lösen können wirst.

Mathe11- aktiv_icon

18:36 Uhr, 20.11.2020

Hallo. Danke für die Antwort! Ich habe die von ihnen eingezeichneten Dreiecke mal angeguckt, finde jedoch keine Möglichkeit, die Länge der Hypotenuse festzulegen. Könnten sie mir dabei noch einmal helfen?

Roman-22

18:41 Uhr, 20.11.2020

Für das blaue Dreieck hast du doch die beiden Längen, aus denen du die Hypotenusenlänge ermitteln kannst, doch schon eingezeichnet!
Natürlich wird da immer noch das unbekannte

r_{2}

vorkommen, aber das ist kein Probelm, denn das rechnest du ja später beim Gleichsetzen aus.

Mathe11- aktiv_icon

18:45 Uhr, 20.11.2020

Ok. Irgendwie bin ich verwirrt. Könntest du mir bei dem ganzen Prozess noch einmal helfen? Auch mit dem gleichsetzen? Ich komme hier irgendwie nicht weiter.

rundblick aktiv_icon

19:11 Uhr, 20.11.2020

.
vielleicht kommst du damit klar ?

\to

gib deinen hervorgehobenen Punkten deines ersten Bildes Namen :
5 Punkte unten auf der waagrechten Linie von links

\to A, B, C, D, E;

Mittelpunkt des grossen In-Kreises

\to M

(und neuer Name: gesuchter Radius

R

statt

r_{2});

die zwei Berührpunkte weiter oben auf den Randkreisen

\to F

(links) und

G

(rechts);
höchster Punkt

\to H

zeichne nun noch folgende Verbindungslinien ein: AG , BM, CH, DM

(M

liegt dann auf AG und auch auf CH .. ?klar warum?)

das Dreieck BDM ist gleichschenklig

\to

Basis BD

= 2 r,

Schenkel BM=DM

= r + R

\Rightarrow

für die Höhe CM

= h

gilt dann

\to h^{2} = {(R + r)}^{2} - r^{2} = R^{2} + 2 R r

das Dreieck ACM ist rechtwinklig: Hypothenuse AM

= (4 r - R),

Katheten AC=

2 r

und CM

= h

\Rightarrow

Pythagoras

\to A M^{2} = A C^{2} + h^{2}

setze ein und du bekommst eine Gleichung, mit der du

R

berechnen kannst (abhängig von

r)

mach mal... und was bekommst du nun für

R

\to . .

.
?

Mathe11- aktiv_icon

20:47 Uhr, 20.11.2020

Ich habe das mal gemacht. Nun bekomme ich diese Formel, weiß allerdings nicht, wie ich fortfahren soll... Kannst du mir da noch helfen? Sonst top erklärt!! Vielen Dank!!

rundblick aktiv_icon

21:52 Uhr, 20.11.2020

.
"Ich habe R=Rr/r als Lösung"

hm? - das ist doch leider totaler Unsinn .. warum arbeitest du nicht selbst - ohne TR !?

"wie du auf die Formel gekommen bist.(also (R+r)^2-r^2=R^2+2Rr)"

hast du den Schritt vorher noch verstanden?

: h^{2} = {(R + r)}^{2} - r^{2}

ich hoffe doch, dass du nun die Klammer ausrechnen kannst ? (Binom-Formel bekannt?)
wenn ja .. was bekommst du dann, wenn noch

r^{2}

weggenommen wird?

\to

also was gibt es am Schluss für

h^{2} = ...

?

und jetzt also nochmal:

Hypothenuse AM

= (4 r - R),

Katheten AC=

2 r

und CM

= h

\Rightarrow

Pythagoras

\to A M^{2} = A C^{2} + h^{2}

alles einsetzen:

\Rightarrow {(4 r - R)}^{2} = {(2 r)}^{2} + (R^{2} + 2 R r)

rechne das bitte ohne TR nun richtig aus

\to . .

.

.

Mathe11- aktiv_icon

21:54 Uhr, 20.11.2020

Ich verstehe eben nicht so genau, wie ich diese Formel ausrechnen soll.

rundblick aktiv_icon

22:12 Uhr, 20.11.2020

.
"Ich verstehe eben nicht so genau, wie ich diese Formel ausrechnen soll."

sag bloss, du kennst die binomischen Formeln nicht? In welche Schule gehst du denn?

\to

?

Beispiel:

{(a + b)}^{2} = ... .

{(a + b)}^{2} = (a + b) \cdot (a + b) = . .

... ... ... ... ... .

. kannst du die Klammern ausmultiplizieren ? ja?

\to

also:

\Rightarrow {(a + b)}^{2} = ... .

?

wende das dann hier an :

h^{2} = {(R + r)}^{2} - r^{2} = ... ... . .

.

.

Mathe11- aktiv_icon

22:14 Uhr, 20.11.2020

2ab, oder nicht? Außerdem wollte ich noch fragen, wie du auf (R^2+2Rr) für CM gekommen bist

rundblick aktiv_icon

22:21 Uhr, 20.11.2020

.

" 2ab, oder nicht? "

...

. ja,

\to N I C H T!!

Beispiel:

{(a + b)}^{2} = ... .

{(a + b)}^{2} = (a + b) \cdot (a + b) = . .

... ... ... ... ... .

. du solltest die Klammern ausmultiplizieren

!! \to

also :

und nochmal: in welcher Schule bist du?

Mathe11- aktiv_icon

22:25 Uhr, 20.11.2020

a^2 + 2 x ab + b^2

Ich gehe auf ein Gymnasium, hatte das allerdings in der 8. klasse und deshalb schon wieder vergessen...

rundblick aktiv_icon

22:32 Uhr, 20.11.2020

.
"

{(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . .

. ok
wende das dann hier an :

h^{2} = {(R + r)}^{2} - r^{2} \Rightarrow

h^{2} =

Mathe11- aktiv_icon

22:37 Uhr, 20.11.2020

Das ist ja eben das, was ich nicht verstehe. Wie man die Formel also auf dieses Beispiel überträgt

Mathe11- aktiv_icon

22:43 Uhr, 20.11.2020

Kann es sein, dass die Lösung 2Rr-

r^{2} i s t ?

rundblick aktiv_icon

22:47 Uhr, 20.11.2020

.
wau - nein ..

Hypothenuse AM

= (4 r - R),

Katheten AC=

2 r

und CM

= h

\Rightarrow

Pythagoras

\to A M^{2} = A C^{2} + h^{2}

A M^{2} = A C^{2} + h^{2}

{(4 r - R)}^{2} = {(2 r)}^{2} + (R^{2} + 2 R r)

16 r^{2} - 8 R r + R^{2} = 4 r^{2} + R^{2} + 2 R r

16 r^{2} - 8 R r = 4 r^{2} + 2 R r

12 r^{2} = 10 R r . .

| : (10 r) \to

\Rightarrow R =

?

.

Mathe11- aktiv_icon

22:54 Uhr, 20.11.2020

r^{2} : 10 r = R ?

Mathe11- aktiv_icon

08:36 Uhr, 21.11.2020

Also. Ich habe mir deine Tipps jetzt noch einmal genau angeguckt und habe mir die Stellen, die ich nicht verstehe markiert.
Das ist einmal bei der Berechnung von h (

h^{2} = (R + r)^{2} - r^{2})

Diese Formel verstehe ich noch. Allerdings verstehe ich nicht, wie du sie zu

h^{2} = R^{2} + 2 R r

umformst. Könntest du mir das noch einmal erläutern?
Die nächste Frage ist, ob du mir sagen könntest, welche Befehle du neben den Befehlsstrich bei (

4 r - R)^{2} = (2 r)^{2} + (R^{2} + 2 R r)

geschrieben hast, um auf

12 r^{2} = 10 R r

zu kommen.
Die nächste Frage wäre, warum bei der Formel

(4 r - R^{2}) = (2 R r)^{2} + (R^{2} + 2 R r)

hinter der letzten Klammer (also

(R^{2} + 2 R r)

kein ^2 mehr steht.
Die letzte Frage ist, wie genau du jetzt zu R gekommen bist. Ich denke, dass du h bekommen hast indem du das gleichschenkelige Dreieck (BD BM DM) durch die Höhe geteilt hast, zwei rechtwinklige Dreiecke erhalten hast und somit mit SDP die Kathete(h) berechnet hast. Dann hast du das Dreieck (AC CM AM) eingezeichnet und mithilfe des SDP die Seite AM ausgerechnet und dadurch dann R? Hast du bei diesem Prozess also r und das kleine Stück zwischen den beiden Kreisen abgezogen? Stimmt das so?
Vielen Dank im Voraus und sorry ich bin bei binomischem Formeln, wie ich gemerkt habe ziemlich raus...

HAL9000

09:36 Uhr, 21.11.2020

Kurz gesagt ist "Binomische Formeln" die Antwort auf so gut wie alle deine Fragen: Wie die Terme zustande kommen, wieso irgendwelche Quadrate "verschwunden" sind, und und und:

{(R + r)}^{2} = R^{2} + 2 R r + r^{2}

{(4 r - R)}^{2} = {(4 r)}^{2} - 2 \cdot 4 r R + R^{2} = 16 r^{2} - 8 R r + R^{2}

Mathe11- aktiv_icon

10:26 Uhr, 21.11.2020

Ist denn

12 r^{2} : 10 r = R

als Ergebnis richtig?

Roman-22

10:40 Uhr, 21.11.2020

>

Ist denn

12 r 2 : 10 r = R

als Ergebnis richtig?
Ja, aber wie wärs noch mit kürzen?

\to R = \frac{6}{5} \cdot r

HAL9000

11:14 Uhr, 21.11.2020

Übrigens: Rechnet man genau nach, wie groß der Winkel rechts unten in dem rechtwinkligen blauen Dreieck der obigen Skizze ist, dann kommt man auf

\arccos (\frac{5}{7}) \approx 44.41 5^{\circ}

,

d.h. dass das jemand auf den ersten groben Blick auf die Skizze für ein gleichschenklig rechtwinkliges Dreieck hält, ist ein nachvollziehbarer Irrtum. :-)

Mathe11- aktiv_icon

11:31 Uhr, 21.11.2020

Ist das Ergebnis denn trotzdem richtig?

rundblick aktiv_icon

12:18 Uhr, 21.11.2020

.
"Ist das Ergebnis denn trotzdem richtig?"

JA - aber nicht "trotdem", sondern sicher,
denn falls der Plastik-Zwerg mich meint, dann hat er nicht richtig gelesen:
bei meinem Vorschlag kommt kein blaues Dreieck vor und das Dreieck BDM, das
ich als gleichschenklig bezeichnet habe, IST nämlich ganz sicher GLEICHSCHENKLIG .
also vergiss dieses HALlo mit dem "groben Blick". :-)

ok?

HAL9000

14:19 Uhr, 21.11.2020

Mit Irrtum meinte ich selbstverständlich das von Roman-22 richtigerweise erwähnte "Deine Annahme, dass diese eine, in beigefügtem Bild markierte, Strecke

m

wäre, ist falsch" - die Referenz mit dem "blauen Dreieck" war doch wohl mehr als deutlich! Mit keinem Wort habe ich gesagt, dass rundblicks Überlegungen falsch sind - ganz im Gegenteil: Die

44.41 5^{\circ}

basieren auf diesen Überlegungen.

Deswegen bin ich schon schwer enttäuscht, dass dieser rundblick hier in so dreistem Ton rumpoltert. Mir wurde jüngst hier mal geraten, dass ich mich nicht unbegründet angegriffen fühlen muss - offenbar muss ich diesen Ratschlag nun an rundblick weitergeben.

@Mathe11-

Ja klar, ist richtig.

rundblick aktiv_icon

16:45 Uhr, 21.11.2020

.
@HAL9000

. .

. bin ich schon schwer enttäuscht, "dass dieser rundblick" ( :-) ) dir das Gefühl gab,
dich unbegründet angegriffen fühlen zu müssen.

Zur Sache: mit deinen 44.415∘ usw hast du den Fragesteller doch offenbar verunsichert.
Ohne dass du gleichzeitig klarstellst, dass nicht meine (richtige) Lösung gemeint ist,
schien mir dessen Reaktion verständlich (und meine Replik verzeihbar?)

Na ja, dass deine Identifikation mit einer kitschigen Figur mir optisch keinen soliden
Hintergrund suggerieren soll, nervt mich halt gelegentlich, da ich eigentlich von den
gelesenen HAL9000 -Beiträgen im Gegenteil einen sehr positiven Eindruck habe.
Da passt (aus meiner Sicht) was nicht zusammen .. :-)

..

HAL9000

17:19 Uhr, 21.11.2020

> und meine Replik verzeihbar?)

Nicht in dem Ton. Eine souveräne einfache sachliche Klarstellung "HAL9000 meint mit Irrtum sicher nicht meine Überlegungen" o.ä. hätte es auch getan.

Stattdessen "Plastikzwerg", schreiende Großbuchstaben sowie die Bemerkung, dass mein Beitrag zu vergessen sei - wenn man das nicht als dreist bezeichnen darf, was dann?

Nehmen wir z.B. "Plastikzwerg": Wie würde es dir gefallen, wenn ich dich "Engstirnblick" statt "rundblick" nennen würde, etwa weil du es nicht für nötig gehalten hast, dich mal im Thread umzuschauen um zu erkennen, dass mit "blaues Dreieck" eindeutig das aus der Roman-22-Skizze gemeint war? Vermutlich nicht so sehr, nehme ich an.

> deine Identifikation mit einer kitschigen Figur

Zu deiner Weiterbildung: Das ist Marvin, der Roboter aus "Per Anhalter durch die Galaxis". Sozusagen ein Verwandter von HAL9000. Und der ist depressiv veranlagt - womöglich weil er so vielen Typen begegnet, die ziemlich schräg drauf sind. Da es mir hier im Forum ähnlich geht, gibt es eine gewisse Identifikation, ja. :-)

pleindespoir aktiv_icon

12:51 Uhr, 22.11.2020

Engglotz ist fachlich durchaus anerkennenswert, aber seine Kommunikationskompetenz leider in gleichem Maße defizitär.

rundblick aktiv_icon

13:59 Uhr, 22.11.2020

.
"Engglotz.."

schade, auch pleindespoir passt sich dem "Plastikzwerg" -Niveau an .. :-)

.

Sukomaki aktiv_icon

17:45 Uhr, 22.11.2020

Marvin gilt ja als paranoid, aber ich schätze Dich so ein, dass das auf Dich nicht zutrifft.

Und Du weisst schon, dass Marvin ein Gehirn mit der Größe eines Planeten hat?

Von daher könnte man das ein kleines bisschen anmaßend finden, dass Du Dich so nennst ;-)

Meine Lieblingsstellen sind
1) Wie er sich über die Tür ärgert, die fröhlich trällert "Danke, dass ich mich für Sie öffnen durfte"
und
2) "Bin ich mittlerweile dreimal so alt wie das gesamte Universum."

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