Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Kreisfläche über Volumenintegral

Kreisfläche über Volumenintegral

Universität / Fachhochschule

Sonstiges

Tags: Integralrechnung

Chica-Rabiosa aktiv_icon

09:28 Uhr, 26.05.2016

Guten Morgen. Ich befasse mich mit der Integralrechnung und soll die Kreisfläche über ein Volumenintegral berechnen.

Die Angaben sind:

Ω = K (O, R)

und

A = \int_{Ω} 1 \cdot d x d y

mit

f (x, y) = 1

Da es sich um ein 2-dimensionales Problem handelt ist

z = 0

.

Nun gibt es sicherlich viele Möglichkeiten, wir befassten uns bisher nur mit der Mehrdimensionalen Integration von Riemannintegralen.

Ich weiß nicht wie ich das anstellen soll. Ich habe einen Kreis im Ursprung mit dem Radius R.

Ich muss also meine Fläche lokalisieren und das Integrationsgebiet festlegen.
Die Fläche eines Kreises ist

A = π \cdot R^{2}

. Das ist mein Ziel, sprich das was ich am Ende herausbekommen soll.

Ich muss doch sowohl in x-Richtung, als auch in y-Richtung von 0 bis

R

integrieren?

\int_{0}^{R} \int_{0}^{R} 1 \cdot d x d y

jedoch habe ich dann den Bogen meines Erachtens nicht berücksichtigt, weil mir dann am Ende in Endergebnis das

π

fehlen würde.

Wo ist mein Denkfehler bzw. Verständnisproblem?

Danke

Chica-Rabiosa

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

10:27 Uhr, 26.05.2016

Hallo,

es geht um den Kreis um den Nullpunkt mit Radius

R,

also

x^{2} + y^{2} \leq R^{2}

?

Dann kannst Du diesen Kreis in kartesischen Koordinaten so darstellen:

- R \leq x \leq R

und

- \sqrt{R^{2} - x^{2}} \leq y \leq \sqrt{R^{2} - x^{2}}

(Mach Dir das mit einer Skizze klar)

Dementsprechen kannst Du integrieren:

\int_{- R}^{R} d x \int_{- \sqrt{R^{2} - x^{2}}}^{\sqrt{R^{2} - x^{2}}} d y

(Weitere Möglichkeiten: Berücksichtigung von Symmetrien, Polarkoordinaten)

Gruß pwm

Chica-Rabiosa aktiv_icon

10:53 Uhr, 26.05.2016

Hallo,

es geht um den Kreis um den Nullpunkt mit Radius

R,

also x2+y2≤R2?

\to

Ich habe nur die Angaben bekommen und wir sollten es üben. Da es nie jemand macht und es mich interessiert, versuche ich es. Wir hatten keine Polarkoordinaten in dem Fach eingeführt bis jetzt. Es geht also um die "normale" Integration.

Ich habe keine weiteren Angaben außer denen die ich genannt habe. Es geht um einen Kreis mit Ursprung 0 und Radius R. Es soll die Kreisfläche über ein Volumenintegral berechnet werden. Eine Fläche multipliziert mit 1 ist quasi ein "Volumen", soweit ja klar.

Dann kannst Du diesen Kreis in kartesischen Koordinaten so darstellen:

\to

Also die Einteilung des y-Bereichs, habe ich noch nicht nachvollziehen können.

Ich habe es mir skizziert, doch wie hast du das umgestellt? Ich kenne die Formel für den Kreis jedoch habe ich mir nie Gedanken gemacht wieso diese so ist.

ledum aktiv_icon

12:03 Uhr, 26.05.2016

Hallo
zeichne in deinen Kreis irgendwo einen Punkt

(x, y)

ein, dazu die

y -

Koordinate als Strecke unter dem Punkt. dann hast du ein rechtwinkliges Dreieck mit Hypothenuse

R,

und Katheten

x

und

y

. Dann Frage Herrn Pythagoras, wie man

R

aus

x

und

y

bestimmt.
Gruß ledum

Chica-Rabiosa aktiv_icon

12:20 Uhr, 26.05.2016

Oh ja, wieso brauche ich immer bzw. wieso erkenne ich sowas nie

: (

Ja dann kommt das schon erwähnte Integral über das Gebiet zu Stande:

\int_{- R}^{R} d x \int_{- \sqrt{R^{2} - x^{2}}}^{\sqrt{R^{2} - x^{2}}} d y

Wenn ich jetzt integriere:

\int_{- \sqrt{R^{2} - x^{2}}}^{\sqrt{R^{2} - x^{2}}} 2 R d y = 2 R y |_{- \sqrt{R^{2} - x^{2}}}^{\sqrt{R^{2} - x^{2}}} = 4 R \sqrt{R^{2} - x^{2}}

Das wäre jetzt das "Volumenintegral" über die Kreisfläche?

Danke!

ledum aktiv_icon

16:03 Uhr, 26.05.2016

Hallo
du hast falsch integriert. am ende muss da ja ne Zahl bzw Zahl un

R

sein
schreib dein Integral lieber als

\int_{- R}^{R} (\int_{- \sqrt{R^{2} - x^{2}}}^{+ \sqrt{R^{2} - x^{2}}} d y) d x

damit du siehst, was du rechnen musst.
Gruß ledum

Chica-Rabiosa aktiv_icon

20:16 Uhr, 26.05.2016

Falsch integriert? Ahsooo...

. .

= \int_{- R}^{R} 2 \sqrt{R^{2} - x^{2}} d x =

Jetzt habe ich Probleme. Man müsste denke ich substituieren? Die Frage ist nur was.

z = x^{2} \Rightarrow \frac{d z}{d x} = 2 x

Das macht keinen Sinn. Hm ich komme nicht drauf

: (

der Integrand muss sich ja vereinfachen durch die Substitution. Gut wäre die Wurzel zu eliminieren.

z = \sqrt{x} \Rightarrow \frac{d z}{d x} = \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} = \frac{1}{2 \sqrt{x}}

bringt auch nichts

: (

ledum aktiv_icon

20:32 Uhr, 26.05.2016

Hallo
substituiere

x = R \cdot cos (t)

benutze

{sin}^{2} t + {cos}^{2} t = 1

Gruß ledum

Chica-Rabiosa aktiv_icon

12:43 Uhr, 28.05.2016

\int_{- R}^{R} 2 \sqrt{R^{2} - x^{2}} d x

Substituieren soll ich mit

x = R \cdot cos (t)

\frac{d x}{d t} = - R \cdot sin (t) \Leftrightarrow d x = - R \cdot sin (t) d t

{cos}^{2} (t) + {sin}^{2} (t) = 1

{cos}^{2} (t) = 1 - {sin}^{2} (t)

\int_{- R}^{R} 2 \sqrt{R^{2} - x^{2}} d x = \int 2 \cdot \sqrt{R^{2} - R^{2} \cdot {cos}^{2} (t)} \cdot (- R \cdot sin (t) d t)

Ich erkenne dennoch nicht wo sich der Vereinfachungsschritt ergibt? Ich könnte das

R^{2}

aus der Wurzel ziehen aber das hilft mir irgendwie nichts.

ledum aktiv_icon

19:50 Uhr, 28.05.2016

Hallo

1 - {cos}^{2} (t) = {sin}^{2} (t)

nachdem du

R^{2}

als

R

aus der Wurzel gezogen hast
es bleibt das Integral über

{sin}^{2} (t)

das man mit 2 mal partieller integration löst. oder einmal partiell und sint*cost=1/2

sin (2 t)

am Ende rücksubst oder die Grenzen für

t

einsetzen.
Gruß ledum

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1309443

1309095

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?