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Kreisgleichung
Schüler Maturitätsschule, 13. Klassenstufe
Tags: Kreisgleichung
 
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Ich habe eine Aufgabe bei der wir nicht weiterkommen: Gegeben ist der Kreis Bestimmen Sie Mittelpunkt und Radius des Kreises K. Legen Sie vom Nullpunkt aus die Tangenten an den Kreis K. Geben Sie die Gleichungen und die Berührpunkte an. Die in bestimmten Tangenten und der kürzere Kreisbogen begrenzen ein Flächenstück. Berechnen Sie seinen Inhalt Geben Sie den Radius des grössten Kreises an, den Sie in das in beschriebene Flächenstück einzeichnen können. Ich habe nicht eine einzige Idee, wie ich das lösen könnte. Ich wäre froh wenn ich wenigstens lösen könnte, es hat aber einfach zuviele Unbekannte... Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Kennst du die allgemeine Kreisgleichung, an der man den Mittelpunkt und den Radius eines Kreises ablesen kann ? Gruß Björn |
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Ja, sie ist:k: dabei sind die Koordinaten des Kreismittelpunktes. Aber wir haben weder noch und fehlt ja auch... |
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Durch bestimmte Ergänzungen von bestimmten Summanden kann man deine obige Koordinatengleichung zu einer solchen Form bringen ---> binomische Formeln Umgeschrieben wäre das ja x²-6x+y²-8y+16=0 Betrachtest du jetzt mal die ersten beiden Summanden für sich, dann ist das ja ein Teil einer binomischen Formel. Wenn du jetzt noch die Hälfte vom Faktor vor dem x nimmst, das quadrierst und dazu addierst (quadratische Ergänzung), dann würde da stehen x²-6x+3²+y²-8y+16=0 Die ersten 3 Summanden ließen sich damit also so zusammnefassen --> (x-3)² Dasselbe machst du mit dem y und am Ende musst du dann wieder alles abziehen, was an Summanden ergänzt wurde, denn sonst hätte man die Gleichung ja verändert. Verstehst du wie ich das meine ? |
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OK, ich werde mal quadratisch Ergänzen und melde mich dann wieder Danke für's erste! Liebe Grüsse |
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OK, hab das mal gemacht und habe folgendes bekommen: stimmt das? Wenn ja, was muss ich dann machen? |
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Nein stimmt leider nicht, was du auch sehen kannst, wenn du das mit der Ausgangsgleichung vergleichst. Bei dir wird nirgendwo ein minus vorkommen, in der obigen Gleichung schon... Und auch wenn du die 16 auf die andere Seite bringst hättest du einen negativen Radius, was auch nicht stimmen kann. Gruß Björn |
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OK, folgendes habe ich noch gemacht , vielleicht finden wir ja den Fehler: Ich habe gerechnet und dann und auf beiden Seiten 9 addiert dann, dasselbe mit das gibt dann: |
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Die Sachen mit dem x hatte ich dir ja schon vorgemacht, du aber hast das irgendwie wieder verändert. So meinte ich das: (x²-6x+9)+(y²-8y+16)+16-9-16=0 <=> (x-3)²+(y-4)²=9 Die 9 und die 16 hat man ja dazu addiert, damit man eine binomische Formel anwenden kann. Deshalb muss das am Ende auch wieder abgezogen werden. |
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Du hattest auf der linken Seite 2-mal 9 addiert - einmal in der binomischen Formel (x+3)^2=x^2+6x+9 und dann noch einmal zu den 16. |
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Ja, hab ich gerade gemerkt. Ich bin halt nicht so der Hirsch im Mathe, . das ist schon sehr lange her mit dem quadratischen Ergänzen, da vergisst man das schnell wieder... |
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Dann sind und die koordinaten des Mittelpunktes? |
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Nein |
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Ich überleg noch ein bisschen drum rum und sonst, muss ich es wohl oder übel aufgeben. Immerhin habe ich die quadratischen Ergänzungen repetiert |
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Ich danke euch auf jeden Fall für eure Hilfe!! Aber es hat keinen Sinn, wenn man 0 Ahnung hat... |
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Ohne Vorwissen ist es schon schwer...aber frag einfach weiter nach wenn du magst. |
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Ich mache mir noch Gedanken darüber, muss es erst am Mittwoch abgeben. Sonst sage ich halt meinem Lehrer, dass ich es nicht lösen konnte...Vielen Dank aber trotzdem! |
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Hier mal eine Skizze zum Sachverhalt, vielleicht schreibe ich dir nachher noch was dazu. Bis morgen abend wird dir das schon jemand gemacht haben. Gruß Björn  |
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Nagut, mal ein paar Sätze zu Aufgabe b) und c) zu b) x=0 ist schon mal auf jedne Fall eine Tagente, wie man in der Skizze sieht. Die andere Tangente (Ursprungsgerade) hat die Form t(x)=mx Setzt man das in die Kreisgleichung ein und löst nach x auf, erhält man die allgemeinen Schnittellen. Da Tangente und Kreis ja nur genau einen gemeinsamen Punkt haben sollen, muss die Diskriminante (der Term untder der Wurzel) gleich null sein. Damit erhälst du dann die gesuchte Steigung m der Ursprungsgeraden. Da sollte dann m=7/24 rauskommen. zu c) Die zu berechnende Fläche ergibt sich aus der Differenz der Fläche durch die Eckpunkte A,B1,M und O und des Kreissegments. Das Viereck besteht aus zwei flächengleichen, rechtwinkligen Dreiecken. Der Flächeninhalt ist also sehr einfach zu bestimmen. Für den Flächeninhalt des Kreissegments braucht man noch den Mittelpunktswinkel, also quasi den Winkel den die Vektoren MB1 und MA einschließen. zu d) dazu fällt mir derzeit noch nichts ein |
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Hallo Björn ! Vielen Dank für deine Bemühungen! Ich habe mir diese Gedankengänge ausgedrucktm und versuche sie jetzt nachzuvollziehen und es in die Tat umzusetzen. Ich habe mir heute morgen noch kurz Gedanken gemacht über den Mittelpunkt... (die erste Aufgabe): muss ich diese und einsetzen und dann ein lineares Gleichungsystem machen? Weil ich habe ja zwei unbekannte immer noch und . etwas anderes ist mir auch nicht in den Sinn gekommen, da ich für eine Englischprüfung lernen musst... Vielen Dank für deine Bemühungen und deine Hilfe! Liebe Grüsse Etienne |
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Den Mittelpunkt kannst du doch einfach ablesen an der nun vorliegenden Form. Zur letzten Aufgabe habe ich mir auch noch ein paar Gedanken gemacht und dazu auch noch eine Skizze, die ich anhängen werde. Sehr wahrscheinlich ist der gesuchte Kreis der Inkreis des unteren Dreiecks mit den Eckpunkten O,E und F.  |
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Aber Björn du hast doch als antwort nein gegeben als ich gefragt habe ob und die koordinaten des Mittelpunktes sind... Hey ich weiss deine Hilfe wirklich sehr zu schätzen ist echt der Hammer |
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Die Koordinaten lauten auch nicht -3 und -4 sondern 3 und 4 (siehe Skizze) |
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Ooops, sorry mein Fehler Danke vielmals Jetzt habe ich es gesehen mit den Koordinaten |
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Für Aufgabe d) beträgt der Radius für den kleinen Kreis (Inkreis) 0,75 LE Für die Fläche bei c) erhalte ich 6,20849 FE mit dem Mittelpunktswinkel 73,74° Edit: Bei Aufgabe d) habe ich mich aber wohl verrechnet, jedenfalls passt es nicht zu der Skizze... Ok, neuer Versuch ;) Die Fläche beträgt ca. 3,65 FE mit dem Mittelpunktswinkel 106,26° So, das sollte aber jetzt passen =) Alternativ kann man die Fläche aus c) auch durch Integration berechnen. Und zwar wenn man die Fläche zwischen den Graphen der Funktionen f(x)=7/24x ---> Tangente aus b) und g(x)=4-wurzel(9-(x-3)²) ---> Halbkreisfunktion im Intervall von 0 bis 3.84 integriert. |
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Vielen Dank Björn Ich konnte nun die erste Aufgabe nachvollziehen und bin jetzt an der zweiten. Langsam kommts Kann dir gar nicht genug danken, vielleicht schaffe ich es ja trotzdem im Mathe eine genügende hinzubekommen bis im Februar, wenn ich meine Maturprüfungen habe |
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Hallo Björn habe nochmal ne Frage, bin gerade an der Aufgabe Die eine Tangente hat die Form (das verstehe ich) Die andere hat doch die Form f(x)=mx+q (es ist doch eine Gerade oder???) Warum nur t(x)=mx ?? Und die Schnittstelle berechne ich doch mit Gleichsetzen und eben nach auflösen. muss es dann heissen: mx ??? aber da hätte ich ja wieder zuviele Unbekannte... |
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Sorry, hab's verstanden: sie geht durch den Ursprung deshalb, alles OK! Aber ich verstehe das mit dem einsetzen noch nicht... |
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Du musst diese Form der Kreisgleichung nehmen: (x-3)²+(y-4)²=9 nehmen und hier für das y dann mx einsetzen und nach x auflösen....usw (siehe oben) |
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OK, habe ich dann gemacht, dann bekomme ich: (x-3)^2+(mx-4)^2=9 ausmultipliziert ergibt das dann: (x^2-6x+9)+(m^2x^2-8mx+16)=9 Jetzt habe ich ein rein algebraisches Problem, ich komme nicht weiter als: x^2-6x+m^2x^2-8mx=-16 Jetz weiss ich nicht mehr weiter wie ich das isolieren kann... |
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Deine letzte Umformung stimmt nicht mehr. Es sollte sich das hier ergeben: (m²+1)x²-(8m+6)x+16=0 Das jetzt durch m²+1 dividieren und dann mit der pq Formel lösen und so fortfahren wie oben beschrieben. |
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Ich verstehe beim besten Willen nicht wie du auf diese Umformung kommst: Aber ich habe doch richtig ausmultipliziert oder? Das hiesse dann: (x^2-6x+9)+(m^2x^2-8mx+16)=9 |
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